SVM个人学习总结
如题，本文是对SVM学习总结，主要目的是梳理SVM推导过程,以及记录一些个人理解。
1.主要参考资料
[1]Corres C. Support vector networks[J]. Machine Learning, 1995, 20(3):273-297.
[2]Platt J C. Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines[C]// Advances in Kernel Methods-support Vector Learning. 1998:págs. 212-223.
[3]结构之法 算法之道:支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界)
[4]Free Mind：支持向量机系列
[5]JerryLead：支持向量机系列
[6]周志华： 《机器学习》
[7]zouxy09的专栏：机器学习算法与Python实践之（四）支持向量机（SVM）实现
[8]Jasper:SVM入门（一）至（三）Refresh
[9]Xianling Mao的专栏：深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件
（以上参考资料可能是本篇博客价值最大的地方了）
2.推导思路简析
1.线性可分基本模型（几何问题，凸优化问题，不等式约束）
2.对偶问题：拉格朗日乘子法，KKT条件
3.SMO算法：求解对偶问题
4.软间隔：引入松弛变量和惩罚函数
5.线性不可分：高维映射与核函数
3.1 线性可分基本模型
（1）问题描述：对于给定的两类训练样本，找到一个超平面将其分成两类。
在样本空间中，超平面可以用如下线性方程描述：$$w^T x + b = 0 ag{3.1.1} $$
**SVM的目的：寻找最优的超平面(w,b)。 **
（2）如果仅仅是为了把两类训练样本分开，可以有多个超平面将其分开，但是我们追求最好的超平面，以便在预测时有更强的泛化能力。从直观上看，当两类样本点均远离超平面时，超平面分类效果更好，即所有样本点到超平面的最小距离越大，超平面分类效果越好。
样本点到超平面的距离可分为函数距离和几何距离。
函数距离： $$r_f = y * (w^T x + b) = yf(x) ag{3.1.2}$$
几何距离： $$r_g = frac{y * (w^T x + b)}{||w||} =frac{ yf(x)}{||w||} ag{3.1.3}$$
由于y的取值是1或-1，并且与f(x)同号，所以函数间隔实际上是|f(x)|,其缺陷是当w和b成比例变化时，超平面不变，但是函数距离会变化，因此不便于统一评价。
几何距离是直观上点到超平面的距离，仅与超平面本身有关，更适合做超平面的评价指标。
任意样本点x到超平面(w^T x + b = 0)的距离: $$ d = frac{|w^T x + b|}{||w||} ag{3.1.4}$$
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样本点到超平面距离几何公式推导：
设超平面方程为(w^T x + b = 0) ，则w为超平面的法向量；样本点A(x)到超平面的距离为d,B(X0)为A在超平面上的投影。 [vec{BA} = x - x_0 = d*frac{w}{||w||} ag{3.1.6}
] 将（3.1.6）代入（3.1.5）， [w^T (x - d*frac{w}{||w||})+ b = 0 ag{3.1.7}
] 化简可得， [d = frac{|w^T x + b|}{|frac{w^Tw}{||w||}|} = frac{|w^T x + b|}{||w||} ag{3.1.8}
] 证毕。 |
（3）假设超平面（w,b）能够将样本正确分类，即对于任意训练样本$(x_i,y_i),y_iin(-1,+1) $,有
则距离超平面最近的几个点，使（3.1.9）式中等号成立，这些点被称为“支持向量”（support vector），
由式(3.1.4)和式(3.1.9)可知，$$ r = frac{2}{||w||} ag{3.1.10} $$
r被称为“间隔”（margin）。显然，当r越大时，超平面（w,b）的分类效果越好。
因此，寻找最优超平面等价于确定w,b,使得r最大，即
为了便于计算，将式(3.1.11)简化为
通过求解式(3.1.12)即可得到最大间隔超平面(w,b)：
将新的样本点代入f(x)计算，利用Logistic(f(x))函数进行类别判断正负类。
下面讨论如何求解w,b。
3.2 对偶问题：拉格朗日乘子法，KKT条件
（1）式(3.1.12)是一个包含不等式约束的凸优化问题，利用拉格朗日乘子法，并结合KKT条件，将其转化成“对偶问题”。
对式(3.1.12)的约束条件添加拉格朗日乘子$alpha_i geq 0 $，则该问题的拉格朗日函数为：
令(L(w,b,alpha))对w和b求偏导，置零，得，
将式(3.2.2)代入(3,2,1),消去w,b,并添加KKT约束条件，可得式(3.1.12)的对偶问题，
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推导过程如下： [L(w,b,alpha) = frac{1}{2}||w||^2 + sum_i^m alpha_i(1-(y_i(w^T x_i + b))) \
=frac{1}{2}w^Tw-sum_i^malpha_iy_iw^Tx_i -sum_i^malpha_iy_ib + sum_i^malpha_i\
=frac{1}{2}w^Tsum_i^malpha_iy_ix_i - w^Tsum_i^malpha_iy_ix_i -sum_i^malpha_iy_ib + sum_i^malpha_i\
=-frac{1}{2}w^Tsum_i^malpha_iy_ix_i - bsum_i^malpha_iy_i + sum_i^malpha_i\
=sum_i^malpha_i - frac{1}{2}(sum_i^malpha_iy_ix_i)^Tsum_i^malpha_iy_ix_i \
=sum_i^malpha_i - frac{1}{2}sum_i^malpha_iy_ix_i^Tsum_i^malpha_iy_ix_i \
=sum_i^m alpha_i - frac{1}{2} sum_i^m sum_j^m alpha_ialpha_j y_i y_j x_i^T x_j ag{3.2.4}
] |
由(3.2.3)解出(alpha)后，即可求出w，b。
分析约束条件 (alpha _i(y_i(w^T x_i + b)-1) = 0),对任意训练样本((x_i,y_i)),总有(alpha _i = 0)或者((y_i(w^T x_i + b)-1) = 0)。当(alpha_i = 0)时，由式(3.2.2),对应的样本不影响f(x)；当(alpha _i eq 0)时，必定有$ (y_i(w^T x_i + b)-1) = 0$，此时样本点在最大间隔边界线上，即该点为支持向量。因此，SVM训练完成后，最终模型仅与支持向量有关。
（2）拉格朗日乘子法与KKT条件的个人理解：(参考文献[6],[9])
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要求拉格朗日函数对原变量和拉格朗日乘子求偏导并且置零；
拉格朗日函数对原变量求偏导置零——保证目标函数梯度与等式约束条件梯度共向；
拉格朗日函数对拉格朗日乘子求偏导置零——保证等式约束条件成立。
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当凸优化问题问题中包含不等式约束时，拉格朗日乘子法需要结合KKT条件。
KKT条件保证了对偶函数是原问题的解的下界，并且不论原问题的凸性如何，对偶问题始终为凸优化问题。
当满足一定条件时，即“强对偶性”，对偶问题的最优解就是主问题的最优下界。
KKT条件意义：是一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题有最优解的充分必要条件。
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3.3 SMO算法：求解对偶问题
（1）分析对偶问题(3.2.3),目标函数中仅有变量(alpha),求解出(alpha)即可解决所有问题。SMO算法是目前解决这个问题的最高效算法。
SMO的基本思路：
“任意”设定一组(alpha_i),即设定所有待求参数的初始值；
选取一对需要更新的变量(alpha_i) 和(alpha_j);
固定(alpha_i) 和(alpha_j)之外的参数，求解式(3.2.3)，更新选取的变量(alpha_i) 和(alpha_j)；
重复以上两个步骤直到满足停止迭代的条件。
（2）ai的选取原则：SMO首先选呢去违背KKT条件程度最大的变量，变量更新后可能导致目标函数减幅最大；
aj的选取原则：启发式选取，使选取的两个变量所对应的样本之间的间隔最大。
SMO算法高效的原因：每次仅计算两个参数的过程非常高效，并且两个参数满足等式约束条件，即每次实际上只用计算一个参数（这也是为什么每次需要选取两个参数的原因），所求问题转化成一元二次函数极值问题（抛物线）。
（3）求解出(alpha)后，利用式(3.2.2),可求解出w；
确定偏移项b时，常用所有支持向量求解的平均值：$$b = frac{1}{|S|} sum_s(y_s sum_ialpha_i y_j x_i^T x_s) ag{3.3.1}$$
其中S为所有支持向量的下标。
至此，w,b已经求解完成,SVM的初步推导结束。
3.4软间隔：引入松弛变量和惩罚函数
（1）在具体任务中，样本并不能理想地完全分开，或者生硬的分离两类样本后模型泛化能力很差。如下图所示，有两个样本点偏离，若按照原先的分离规则，求出的超平面为图中红色虚线所示，显然这并不是理想的结果。因此，为了避免过拟合，我们允许某些样本点不满足约束条件（如图中红色样本点），并引入了“软间隔”。
（2）正则化：引入软间隔后，放宽约束条件$ y_i(w^T x_i + b) geq +1$，引入松弛变量后，有
对应的拉格朗日函数变为
令(L(w,b,alpha,xi,mu))对(w,b,xi_i) 求偏导并置零，将其代入上式整理得到对偶问题，
对比(3.2.3)分析可知，引入软间隔后仅仅影响对偶变量(alpha_i)的约束条件,不改变目标函数。
因此，引入软间隔后，只需要在用SMO求解(alpha_i)时注意约束条件，其他求解步骤与硬间隔相同。
3.5线性不可分：高维映射与核函数
（1）SVM最大的优点就是可以高效解决线性不可分的分类问题，使用的方法是函数映射。
对于线性不可分问题，把原始空间映射到更高维空间，使其线性可分，（已有定理证明：当样本空间是有限维空间，则一定存在高维特征空间使其样本可分）。
令(Phi(x))表示映射后的特征向量，则映射的超平面模型为， $$f(x) = w^T Phi(x) + b ag{3.5.1}$$
其主问题变为，$$max_(w,b)frac{2}{||w||}
s.t. y_i(w^T Phi(x_i)+ b) geq +1 , i = 1,2,cdots,m. ag{3.5.2} $$
相应地，对偶问题变为，
（2）在高维空间计算向量内积时(Phi(x_i)^T Phi(x_j))，可能产生维数灾难，计算十分困难。为了解决这个问题，引入了核函数。假设函数：
则只用在原始低维样本空间中计算函数(k(x_i,x_j))的结果，等价于高维空间计算向量内积(Phi(x_i)^T Phi(x_j))，从而得以避免维数灾难。
这样的函数(k(x_i,x_j))称为核函数。
例如：
利用核函数替代(Phi(x_i)^T Phi(x_j))，则对偶问题变成，
通过SMO算法，可求解出(alpha),进一步得到，
（3）由以上分析，只需构造一个合适的核函数，即可代替计算映射内积(Phi(x_i)^T Phi(x_j))，完全不用理会映射(Phi(x))的具体形式，非常奇妙。
另外，Mercer定理指出，一个对称函数所对应的核矩阵半正定，则其可作为核函数使用。Mercer定理完美解决了核函数的构造问题。
超平面方程是以支持向量为参数的非线性函数的线性组合，仅与支持向量的数量有关，独立与空间的维度，因此保证了SVM能有效处理高维数据。
常用的核函数有线性核，多项式核，高斯核，拉普拉斯核，Sigmoid核。
4.总结
（1）SVM是基于统计学习理论的一种机器学习方法，通过寻求结构风险最小来提高泛化能力，实现经验风险和置信范围的最小化，从而达到在统计样本较少的情况下，也能获得良好的统计规律目的。
（2）SVM是一种二分类模型，基本定义是特征空间上的间隔最大的线性分类器，学习策略是间隔最大化，最终转换成一个凸二次优化规划问题的求解，利用SMO算法可高效求解该问题。
（3）针对线性不可分问题，利用函数映射将原始样本空间映射到高维空间，使得样本线性可分，进而SMO算法求解通过拉普拉斯对偶问题。在计算高维空间的内积时，利用核函数巧妙转换，利用原始样本空间计算结果代替高维空间的内积计算。Mercer定理明确了核函数的构造方法。
(4)遗留问题：对偶问题和KTT条件还未理解透彻；核方法——针对特定问题核函数的选取与构造；SVM多分类；支持向量回归SVR。