bzoj 1036

1036: [ZJOI2008]树的统计Count

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Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。 
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

HINT

 

Source

 题解：

　　裸的树链剖分，什么是树链剖分？

　　那我就写写我对它的理解吧:

　　一.字面上理解应该是树被剖分成链，我们想一想如果是一条链，我们来求一个区间的最大值等一些问题不就可以借助一些数据结构快速求出来了吗（例如线段树）

　　二.怎么剖分？总不能一顿乱搞，那不照样TLE，所以我们就要想一个好办法来实现这个。

　　　 　　在这里就要引入几定义：

　　　 　　1.重儿子：一棵树中我的儿子数最多，我就是重儿子。

　　　 　　2.轻儿子：一棵树中除重儿子外的点。

　　　 　　3.重路径：重儿子形成的路径。

　　　 　　4.轻路径：轻儿子形成的路径。

　　　 　　在这层定义下有几个重要的性质：

　　　 　　(1)轻边(u,v)中，size(v)<=size(u/2)

　　　 　　(2)从根到某一点的路径上，不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。（这还是比较好证明，自己yy一下）；

　　　 　　有了这两个性质，就不难证明树链剖分的时间复杂度为O(logn)；

　　 三.具体步骤

　　　　预处理

　　　　　　第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]

　　　　　　以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

　　　　第二遍dfs

ž　　　　　　根节点为起点，向下拓展构建重链

　　　　　　选择最大的一个子树的根继承当前重链

　　　　　　其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

ž　　　　　　给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

　　　　　　把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

　　　　修改操作

ž　　　　　　1、单独修改一个点的权值

　　　　　　　　根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

　　　　　　2、修改点u和点v的路径上的权值

　　　　　　　　（1）若u和v在同一条重链上直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

　　　　　　　　（2）若u和v不在同一条重链上一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

　　　　查询操作

ž　　　　　　　　查询操作的分析过程同修改操作

　　　　题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

代码：

　　

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define N 30005
#define inf 0x7fffffff
int pre[N*2],now[N],v[N*2],val[N];
int sum[N*4],mx[N*4];
int deep[N],size[N];
int pl[N],belong[N];
int bin[20],ft[N][20];
bool vis[N];
int sz,tot,n,m,x,y;
using namespace std;
int read()
{
    int x=0; char ch; bool bo=0;
     while (ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9') if (ch=='-') bo=1;
    while (x=x*10+ch-'0',ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9');
    if (bo) return -x; return x;
}
void ins(int a,int b)
{
    ++tot; pre[tot]=now[a]; now[a]=tot; v[tot]=b;
}
void dfs1(int u)
{
    size[u]=vis[u]=1;
    for (int i=1; i<=17; i++)
        if (deep[u]>=bin[i])
            ft[u][i]=ft[ft[u][i-1]][i-1];
    for (int p=now[u]; p; p=pre[p])
    {
        int son=v[p];
        if (vis[son]) continue;
        deep[son]=deep[u]+1;
        ft[son][0]=u;
        dfs1(son);
        size[u]+=size[son];
    }
}
void dfs2(int u,int chain)
{
    pl[u]=++sz; belong[u]=chain;
    int k=0;
    for (int p=now[u]; p; p=pre[p])
    {
        int son=v[p];
        if (deep[son]<deep[u]) continue;
        if (size[son]>size[k]) k=son;
    }
    if (!k) return ;
    dfs2(k,chain);
    for (int p=now[u]; p; p=pre[p])
    {
        int son=v[p];
        if (deep[son]<deep[u]) continue;
        if (son!=k) dfs2(son,son);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for (int i=0; i<=17; i++)
        if (t&bin[i]) x=ft[x][i];
    for (int i=17; i>=0; i--)
        if (ft[x][i]!=ft[y][i])
        {
            x=ft[x][i]; y=ft[y][i];
        }
    if (x==y) return x; else return ft[x][0];
    
}
void pushup(int k)
{
    sum[k]=sum[k*2]+sum[k*2+1];
    mx[k]=max(mx[k*2+1],mx[k*2]);
}
void change(int k,int l, int r, int a,int c)
{
    if (l==r)
    {
        sum[k]=mx[k]=val[l]=c; return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (a<=mid) change(k*2,l,mid,a,c);
    else change(k*2+1,mid+1,r,a,c);
    pushup(k);
}
int ask(int k,int l,int r,int a,int b)
{
    if (l==a&&r==b) return sum[k];
    int mid=(l+r)>>1;
    if (mid>=b) return ask(k*2,l,mid,a,b);
    else if (mid<a) return ask(k*2+1,mid+1,r,a,b);
    else
    {
        return (ask(k*2,l,mid,a,mid)+ask(k*2+1,mid+1,r,mid+1,b));
    }
}
int askmax(int k,int l,int r,int a,int b)
{
    if (l==a && r==b) return mx[k];
    int kk=(l==a&&r==b);
    int mid=(l+r)>>1;
    if (mid>=b) return askmax(k*2,l,mid,a,b);
    else if (mid<a) return askmax(k*2+1,mid+1,r,a,b);
    else
    {
        return max(askmax(k*2,l,mid,a,mid),askmax(k*2+1,mid+1,r,mid+1,b));
    }
}
int solvesum(int x,int y)
{
    int sum=0;
    while (belong[x]!=belong[y])
    {
        sum+=ask(1,1,n,pl[belong[x]],pl[x]);
        x=ft[belong[x]][0];
    }
    if (pl[y]>pl[x]) swap(x,y);
    sum+=ask(1,1,n,pl[y],pl[x]);
    return sum;
}
int solvemax(int x,int y)
{
    int summax=-inf;
    while (belong[x]!=belong[y])
    {
        summax=max(summax,askmax(1,1,n,pl[belong[x]],pl[x]));
        x=ft[belong[x]][0];
    }
    if (pl[y]>pl[x]) swap(x,y);
    summax=max(summax,askmax(1,1,n,pl[y],pl[x]));
    return summax;
}
void getmax()
{
    int t=lca(x,y);
    printf("%d
",max(solvemax(x,t),solvemax(y,t)));
}
void getchange()
{
    change(1,1,n,pl[x],y);
}
void getsum()
{
    int t=lca(x,y);
    printf("%d
",solvesum(x,t)+solvesum(y,t)-val[pl[t]]);
}
void init()
{
    bin[0]=1;
    for (int i=1; i<=17; i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    n=read();
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        int a=read(),b=read();
        ins(a,b); ins(b,a);
    }
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        change(1,1,n,pl[i],read());
    }
}
void solve()
{
    int m=read();
    char ch[10];
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%s",ch);
        x=read(); y=read(); 
        if (ch[1]=='M') getmax();
        if (ch[1]=='H') getchange();
        if (ch[1]=='S') getsum();
    }
}
int main()
{
    init();
    solve();
}

注：oyzx、wyf说可以不用lca来写，可我并不知道。。。。。。。（他们代码 110行 1700ms 我的 190行 3000ms）太渣了（但是这是我第一道学算法没看模版A的题，开心！！！）