【题目 背景】
小奇总是在数学课上思考奇怪的问题。
【问题描述】
给定一个 n*m 的矩阵， 矩阵中的每个元素 aij 为正整数。
接下来规定
1. 合法的路径初始从矩阵左上角出发， 每次只能向右或向下走， 终点为右下 角。
2. 路径经过的 n+m-1 个格子中的元素为 A1, A2…A(n+m-1) ， Aavg 为 Ai 的平 均数， 路径的 V 值为(n+m-1) *∑ (Ai-Aavg) ^2 (1<=i<=n+m-1)
求 V 值最小的合法路径， 输出 V 值即可， 有多组测试数据。
【输入格式】
第一行包含一个正整数 T， 表示数据组数。
对于每组数据： 第一行包含两个正整数 n 和 m， 表示矩阵的行数和列数。
接下来 n 行， 每行 m 个正整数 aij， 描述这个矩阵。
【输出格式】
对于每次询问， 输出一行一个整数表示要求的结果
【样例输入】
12 2 1 2 3 4
【样例输出】
14
【数据范围】
对于 30%的数据 n<=10， m<=10
有另外 40%的数据 n<=15 m<=15， 矩阵中的元素不大于 5
对于100%的数据 T<=5， n<=30， m<=30， 矩阵中的元素不大于 30
下面全都是自己的话
又是一道小奇系列的题，感觉要被可爱的小奇洗脑了（麻烦你作为一只小猫不要再数学课上胡思乱想好不好啦）
首先一看这个神秘的式子，初中学历以上的OIer们在内心尖叫：我知道！这是在求方差！
可是为什么要求平均数而最后的结果还是整数啊？？是不是把小数点全抹掉四舍五入啊？？会不会爆精度啊？？NOIP好像不让用long double 来着...
别急，我们先看数据规模，并不是很大，熟悉动态规划的同学应该都会直接想到DP了。但是——我要走到终点才能知道平均数是多少啊，这个后效性阻断了了我的AC之路。。
所以还是回到式子上，考虑一下化简。
观察到式子的一开始乘了一个（n+m-1），化简后居然把所有所有的分母都消去了（！）
最终化简出来大概是这样
(n+m-1)*(a1^2 + a2^2 + a3^2 +...+ai^2)-(a1+a2+a3+...+ai)^2
啊哈，原来根本不用什么double型嘛，结果都是整数的。
那我们接下来考虑DP方程怎么写吧，要怎么表示每一个坐标的状态呢？？
......
......
......
......
......
f[i][j][.....??
......
......
同样的Sigma(ai)是可以表示不同的Sigma(ai^2)的（！）
所以我们的数组f[i][j][k],前两维就表示走到的位置（i,j）咯，然后k表示此时的Sigma(ai)（就是刚刚那个式子后面的部分除去平方），这个状态下式子的前半部分(n+m-1)*(a1^2 + a2^2 + a3^2 +...+ai^2) 最小是多少（！）太好了这样就可以转移了，既满足最优子结构的性质，又满足无后效性。
相信大家都能自己写出转移方程了吧（实在不行就看代码吧）
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 7 #define For(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i) 8 #define Dwn(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i) 9 #define Re register 10 #define Pn putchar(' ') 11 #define llg long long 12 using namespace std; 13 const int N=32; 14 int n,m,a[N][N],nxm,Mx=0; 15 llg f[N][N][2000]; 16 inline void read(int &v){ 17 v=0; 18 char c=getchar(); 19 while(c<'0'||c>'9')c=getchar(); 20 while(c>='0'&&c<='9')v=v*10+c-'0',c=getchar(); 21 } 22 void write(llg x){ 23 if(x>9)write(x/10); 24 int xx=x%10; 25 putchar(xx+'0'); 26 } 27 int main(){ 28 freopen("matrix.in","r",stdin); 29 freopen("matrix.out","w",stdout); 30 int T; read(T); 31 while(T--){ 32 read(n); read(m); 33 nxm=n+m-1; 34 For(i,1,n) For(j,1,m)read(a[i][j]); 35 36 memset(f,-1,sizeof(f)); 37 38 f[1][1][a[1][1]]=nxm*a[1][1]*a[1][1]; 39 Mx=a[1][1]; 40 41 For(i,1,n) For(j,1,m){ 42 if(i==1&&j==1)continue; 43 int adx=a[i][j]; 44 int pMx=Mx; 45 Dwn(k,pMx,1){ 46 llg fx; 47 48 fx=f[i-1][j][k]; // I walk to you from your top side 49 if(fx!=-1){ 50 Mx=max(Mx,k+adx); 51 52 if(f[i][j][k+adx]==-1){ 53 f[i][j][k+adx]=fx+nxm*adx*adx; 54 }else{ 55 f[i][j][k+adx]=min(f[i][j][k+adx],fx+nxm*adx*adx); 56 } 57 } 58 59 fx=f[i][j-1][k]; // I walk to you from your left side 60 if(fx!=-1){ 61 Mx=max(Mx,k+adx); 62 63 if(f[i][j][k+adx]==-1){ 64 f[i][j][k+adx]=fx+nxm*adx*adx; 65 }else{ 66 f[i][j][k+adx]=min(f[i][j][k+adx],fx+nxm*adx*adx); 67 } 68 } 69 70 } 71 72 } 73 74 llg ans=1e18; 75 For(i,1,Mx) if(f[n][m][i]!=-1){ 76 ans=min(ans,f[n][m][i]-i*i); 77 } 78 write(ans); Pn; 79 } 80 fclose(stdin); fclose(stdout); 81 return 0; 82 }
希望能得到支持（推荐）