51Nod 1201-整数划分

原题

Description

将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式

例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。

由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Input

输入1个数N(1 <= N <= 50000)。

Output

输出划分的数量Mod 10^9 + 7。

Sample Input

6

Sample Output

4

题意

求自然数n划分为正整数的所有方案数。

题解

这道题与CodeVS的“数的划分”十分类似，但那道题求的是：将n分成m份的方案数，并且每份是可以相同的；而这道题却要求所有划分方法的划分方案的总数，并且每份不能相同。满足这种要求的最大数也就是1+2+3+4+...+m<=n，而题目规定n<=50000，所以(1+m)*m/2<=50000，解得m<316，所以最多只能将n分成316份，这样便大大缩小了数组的大小范围。

有了m的范围，我们便可以定义一个F数组[0..50000,1..316]，F[i][j]表示将数i分为j份的方案数总和。

于是便有了状态转移方程：f[i][j]:=f[i-j,j]+f[i-j,j-1]。

下面来具体解释一下这个方程:

1、f[i-j,j]表示的是将i分为不包含1(min>=2)的方案总个数，例如，6(=9-3)分成3份可以分为{1,2,3}，则9可以分为{1+1,2+1,3+1}->{2,3,4}【仅1种

2、f[i-j,j-1]表示的是将i分为包含1(min=1)的方案总个数，例如，6=(=9-3)分成2(=3-1)可以分为{0,1,5}{0,2,4}，则9可以分为{0+1,1+1,5+1}{0+1,2+1,4+1}->{1,2,6}{1,3,5}【共2种   

至于为什么状态转移方程的f[i-j,j-1]与“数的划分”中的f[i-1,j-1]存在着区别，其根本原因是，一个可以分成相同的数，而另一个则不能。多减的这(j-1)其实是为了保证划分中的数据不存在重复并一定从小到大排列。

pia代码：

var f:array[0..50000,0..316] of longint;
var n,i,j,ans:longint;
begin
  readln(n);
  f[0,0]:=1;//初始化
  for i:=1 to n do//被分的数
  for j:=1 to 316 do//分后的个数
  if i>=j then f[i,j]:=(f[i-j,j]+f[i-j,j-1]) mod 1000000007;
  for i:=1 to 316 do ans:=(ans+f[n,i]) mod 1000000007;
  writeln(ans);
end.

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