A.(CDQ) 分治
特别基础的教程略。
(CDQ)分治的优缺点：
( 1 )优点：代码量少，常数极小，可以降低处理维数。
( 2 )缺点：必须离线处理。
(CDQ)分治与其他分治最本质的不同在于：
分治到达([L,R])时，分治处理([L,mid])与([mid+1,R])
然后递归上来合并的时候：
只考虑 [L,mid]中元素 对 [mid+1,R] 中元素的影响
看起来这句话非常简单，但只要正真理解了这句话，也就理解了(CDQ)分治。
只要是满足这个原则的分治，都是可以称作(CDQ)分治的。
下面给出几个例子，都是为了理解这句话：
例题1:
给定长度为(10^5)的一个序列，有一下两种操作：
（1）type=1：x val ,把序列第x位置的元素加上val
（2）type=2：x y , 求解[x,y]元素值的和
树状数组大水题.....
如果用(CDQ)分治呢？(虽然非常非常没有必要).
我们把求解([x,y])元素之和拆分为求前缀和(pre[y]-pre[x-1])。
那么会对(pre[x])产生影响的为：操作时间在其之前，修改位置(leq x)的修改操作。
建立二元组((time , x))，外部以time排序，然后分治。
分治时，每次以(x)归并排序,
合并([L,mid])与([mid+1,R])时，统计([L,mid])有几个修改操作。
那么如果在([mid+1,R])碰到了修改操作，自然此时的统计数即为答案。
注意到上面：只统计[L,mid]的修改，只计算[mid+1,R]的答案。
这就是(CDQ)分治的关键所在，因为这样统计可以做到不重不漏，代码见这里。
例题2：
三维偏序问题：
给定(n)个元素，每个元素有三个属性(a,b,c)。
定义(f(i) = sum_{i=1}^n [i!=j] imes [a_j<a_i 且 b_j<b_i 且 c_j<c_i])
试计算(f(1),f(2),...f(n))，数据范围 (n leq 10^5)。
三维偏序是(CDQ)分治的最经典应用。
先确定分治原则：
建立三元组((a,b,c))，外部先按照(a)排序，消除(a)的影响。
然后分治内部以(b)为准则进行归并。此时我们保证了(a_j<a_i)与(b_j<b_i)
第三维(c_j<c_i)怎么办？用以(c)值建立权值树状数组维护即可。
具体流程为：
（1）递归处理([L,mid])与[mid+1,R]；
（2）以(b)为准则归并，其中：
（ 2>1 ）若为([L,mid])元素，将其(c)值插入权值树状数组
（ 2>2 ）若为([mid+1,R])元素，在权值线段树中查询小于其(c)值的元素个数。
（3）回溯;
观察到处理时，依旧满足上面(CDQ)分治的特性。
如果偏序原则中为(leq)即可，那么需要先去重。具体代码见这里
(CDQ)分治的写法
一个非常大的误区：(CDQ)分治一定要归并或边归并边处理。
这其实是不对的，上面说过，只要满足(CDQ)分治原则就可以称为(CDQ)分治。
所以(CDQ)分治的写法其实是多重多样，甚至不拘一格的。
B.CDQ分治中分治原则的确定
(CDQ)分治中的一个难点就是确定分治原则。
在我们分治前，我们会确定元素的分治多元组。
分治多元组的确定关键是看分治中对答案的影响因素。
下面给两个非常经典的例题：
例题3：
序列初始为空，接下来每次会在指定位置(i)插入一个元素(x)
求每次插入后，序列中的逆序对个数。
保证插入元素的值不重复，数据范围(n leq 10^5)
确定三元组((time , pos , val))，然后分治：
外部以(time)进行排序，消除(time)的影响。
然后内部以(pos)为原则进行归并，然后怎么处理呢？
考虑一下元素对答案的影响：
每次新增的点对此时答案的贡献为：
（1）插入时间比它早，位置在它前面，值比它大的元素。
（2）插入时间比它早，位置在它后面，值比它大的元素。
所以我们先以(pos)从小到大归并排序好。
然后从前往后正着扫一遍，
如果元素的(time leq mid)，那么在树状数组中插入它的(val)。
如果元素的(time > mid)，那么在树状数组中查询大于它的(val)的元素个数，加入答案。
然后再从后往前倒着扫一遍，处理方法一样。
这样我们最后就得到了每加入一个元素新增的贡献数，最后统计一下答案即可。
具体代码戳我。
例题4：
给定一个大小为(n*n)的矩阵，初始每个格子元素都为(0)
一共有(10^5)个操作，操作如下：
（1）type=1：x y val ,把(x,y)位置的元素加上val。
（2）type=2：x1 y1 x2 y2, 查询(x1,y1)到(x2,y2)这个矩形的元素和。
貌似是上面的 例题1 的升级版....
由二维变为三维，怎么做呢？ 其实差不多。
二维前缀和之类的略，自己(yy)，然后：
建立三元组((time , x , y))
会影响询问答案的为：操作时间早于其，x、y都小于等于它x、y的修改操作
所以外部以(time)排序，然后以(x)为原则归并。
归并的时候，如果是左边区间的修改操作，把其修改值(val)值插入树状数组中的(y)位置。
如果是右边的查询操作，查询树状数组中小于等于其(y)值的元素值之和。
这题做完了......
C.(CDQ)分治的嵌套使用
1.解决四维偏序问题：
首先我们考虑三维偏序的解决方法：
外围排序三元组变为([L,b,c]与[R,b',c'])，然后归并变为([L,L,c]与[R,R,c'])
所以此时只需要在树状数组中查询(c)了。
那么四维是不是类似呢？
首先外围排序，四元组变为([L,b,c,d]与[R,b,c,d])
然后我们先以(b)为原则归并，但是并不统计答案。
此时我们要记录归并好的序列中每一个元素的(a)是属于(L)还是(R)。
那么此时只有(b)是有序的，(a)虽然无序但是我们记录了其来源（顺序）。
即此时的四元组为([L/R,L,c,d])与([L/R,R,c',d'])
此时把这个新的序列带入下一层(CDQ)中再跑一遍，不就是三维偏序的处理吗？
但是这里注意，为了保证(a)的顺序，只有([L,L,c,d])与([R,R,c',d'])的元素才是合法的。
这个也非常好解决，第一层(CDQ)归并时对每个元素打一个标记即可。
具体的代码见这里
2.解决N维偏序问题
这里提个醒，用嵌套(CDQ)解决(N)维偏序问题的复杂度是(O(N log^{N-1}N))的。
其实搞懂了四维偏序的解决方法后，五维、六维....不是一样的吗？
四维时我们打了一层标记，消除了一维的影响，最终变为了三维偏序问题。
那么(N)维我们则先归并(N-3)遍，打(N-3)层标记。
这样一共消除了(N-3)维的影响，然后再跑三维偏序即可。
实现五维偏序的具体代码见这里。
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