【UR #20】跳蚤电话

题意

uoj

做法

第一次打uoj比赛，居然有签到题，体验良好qwq

容易观察到，一个点一旦加入(S)就不会再出来，且边形成了一个虚树。
任意时刻，操作为在虚树中的某条边中间选取一个点加进来，或在外面选取一个点，与虚树的一个叶子连边。

自然的，会想到对于一棵树，目前(S={root})，枚举一个点(x)，那么路径( ext{root-x})中间的点可以随意选取顺序：假设中间除(x,root)有(m)个点，这部分复杂度为(m!)。

断开这些边，对于剩下若干棵树，即可转化为子问题。
有本质不同(O(n))个子问题，这样能做到(O(n^3))或(O(n^2))。

这题性质非常好：对于根节点(root)，假设其有若干子树，那么若干子树都是分别独立的。

那么令(f_i)为单独考虑(i)子树，初始(S={i})的方案数。
递归解决这个问题，但现在，通过(root)的若干儿子的(f_i)直接得到(f_{root})是无法做到的，因为儿子进入这个集合的时间未知。

额外的，令(g_i)：在(i)子树的基础上，(i)上面加入一个点（即钦定(i)有父亲节点），(S)初始为(fa_i)，的方案数。

因为如果我们得到了(g_i)，那么可以通过(root)儿子节点的(g_{v_i})，很容易得到(f_{root})。

考虑得到(g_u)，两种情况
（1）(fa_u)第一次就选取了(u)，此时方案数为(f_u)
（2）(fa_{u})一开始延伸到了(u)的某个子树，这种情况较为复杂。

假设(u)的儿子分别为({v_1,ldots,v_m})，令(size_i)为(i)子树大小。
当(S)延伸到了(v_i)，在(S)子树加入(u)前，(S)不会延伸到其他子树，而且在加入(u)后，(u)的儿子就相互独立了，枚举(u)加入的时间：

[egin{aligned} &sumlimits_{j=2}^{size_{v_i}+1}{size_u-jchoose{size_{v_1},...,size_{v_i}-(j-1),...,size_{v_m}}}prodlimits_{k=1}^m g_{v_k}\ &=(prodlimits_{k=1}^m g_{v_k})(prodlimits_{k eq i}frac{1}{(size_{v_k})!})(sumlimits_{j=2}^{size_{v_i}+1}frac{(size_u-j)!}{(size_{v_i}-j+1)!})\ end{aligned}]

最后那个和式，是经典组合数上指标求和，很容易得到封闭形式。

总复杂度(O(n))。