「IOI2020」植物比较

题意

洛谷

"满足(2k>n)"

我们可以证明合法的排列只有一种：

结论1.1：(r_i=0)的位置，处于不超过(leftlceilfrac{n}{2} ight ceil)长度的一段

从大到小（(n ightarrow 1)）填入数字
(n)填入最左边那个(0)的位置，然后将前面一段长度为(k-1)的区间的({r_i})减(1)；
此时(r_i=0)的位置依然满足结论1，反复重复此操作即可得到合法排列

(2k>n)为大体上的填数方法指明了方向

"任意情况"

定义：令集合(P)为合法的排列的集合

结论2.1：按如下方式构造，一定可以构造出一个合法的排列：
找到任意满足"(r_i=0)且满足(forall jin(i-k,i),r_j eq 0)"，将当前未填的最大数填入

证明：
假设当前有解，在某合法位置填完(x)（当前未填的最大数）后无解了
容易证明在原解(x)的位置与当前合法位置交换后，一定合法，与假设矛盾

推论：容易发现合法的排列仅能通过上述方法构造

结论2.2：(forall p,qin P)，(p,q)任意长度为(k)的区间数相对大小关系相同

证明：
在按上述方法构造过程中，容易发现(forall i,j,|i-j|<k)，较大者应早于较小者填

于是正解呼之欲出了：
找到任意一个合法的排列
按大小关系连边，对于查询，就是看是否存在(x)到(y)的路径

对于合法的排列，可以用线段树与栈加速
但边数是(O(n^2))的
对于(forall i)，在((i-K,i),(i,i+K))两个区间找到值最小的且大于(i)的位置，分别连边，边数(O(n))
在查询时，先从(x)跳到(y)附近，再判断大小关系，可以用倍增加速

总复杂度(O(nlogn))

提醒：如果RE或WA了把空间开大点