题目大意：问平面上有多少个不同的由n个点组成的无向无标号的树（即在纸上画树，树边不能交叉）。n=10000000，对质数取模。
思考：
由于树太难直接考虑，我们需要建立一种一一对应的关系来方便计数。这里将树变成了平面图，即对于任意一个有2(n-1)个点均匀分布在圆周上的圆，我们给这些点两两配对，连出n-1条严格不相交的弦，那么这个圆和n-1条弦构成的平面图的对偶图就唯一确定了一棵树；而对于一棵树，也能唯一确定它的一个平面图。因此这个对应是等价的。
考虑如何对有2n个点的圆（注意这里的n并不是树的点数，只是为了方便讨论而写的）进行计数。根据burnside引理，一个置换群的染色方案数等于不动点的平均值，因此我们枚举圆旋转了$frac{2*pi}{2*n}*k$弧度。不难发现，对于n为偶数的情况，所有奇数的k都没有任何方案（因为一条边只转一格必然与自己相交）；对于n为奇数的情况，若k为奇数，那么只有k=n才有贡献，即必然存在一条过圆心的直径，直径左右两边的连边方式互相对称，因此贡献为$n*Cat(frac{n-1}{2})$，其中$Cat$为卡特兰数。
接下来我们只考虑$2k<2n$，即转动偶数格的情况。令$d=gcd(2n,2k)$，易发现d的含义是某一个点在圆上旋转，会经过$frac{2n}{d}$个不同的点，这样共形成了d个组。而我们要做的，就是在这d个组之间“循环”地连边，使得边两两不相交。而这部分的答案为$ binom{d}{d/2}$。这也就是说，我们指定任意一个组内的连出去的点和连进来的点，一定存在一种唯一的方案是合法的。
考虑方案的唯一性：如果我们指定连边的方向，那么连边过程相当于括号匹配，因此如果我们从某个地方断开，将前面的括号部分拼接到后面，括号匹配的方法必然是唯一的。
考虑方案的存在性：我们要从某个地方断开，将前面的括号拼接到后面，使得开始往后的前缀和大于等于0（左括号为+1，右括号为-1）。其实我们只要先任意地找一个断开的位置，找到前缀和最小的地方，再从那个地方断开即可。如果这样仍不能满足前缀和大于等于0，那么之前断开的地方一定不是最小值。
最后是不动的置换，显然是$Cat(n)$。
线性筛预处理，即可做到线性。
代码：见https://wallbreaker5th.github.io/2020/%E6%9F%90SCOI%E6%A8%A1%E6%8B%9F%E8%B5%9B%20T3%20%E7%94%BB%E5%9B%BE%EF%BC%88draw%EF%BC%89%EF%BC%88%E6%97%A0%E6%A0%B9%E6%97%A0%E6%A0%87%E5%8F%B7%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%A0%91%E8%AE%A1%E6%95%B0%EF%BC%89/