[校内训练20_01_21]ABC

1.西瓜恒等式：

$$sum_{P.is.a.permutation}{frac{1}{A[P[1]]×(A[P[1]]+A[P[2]])×...×(A[P[1]]+...+A[P[n]])}}=frac{1}{A[1]×A[2]×...×A[n]}$$

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 2.西瓜定理：

对于任意a^m+4≡a(mod m)，有：

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3.给一个无向图，你需要给边染色（k种颜色），在允许将一个简单环经行旋转的情况下，问本质不同的图的数量。

　　答案显然对于每一个点双连通分量是独立的，对于每一个点双连通分量，我们把它们的贡献乘起来，而不在点双上的一条边，有 k 种染色方法，所有贡献乘起来即可。

　　对于树的情况，每个点双连通分量只有一个点，答案显然为 k^m。

　　对于环的情况，若一个点双连通分量只有一个点，则没有贡献，其他情况一个点双连通分量就是一个环，对于一个环只有循环左移操作，用 polya 定理求答案即可。

　　剩下的情况一个点双中至少存在两个有相交部分的环，我们考虑先分别把两个小环顺时针操作，再把两个小环所在的大环逆时针操作，这样三步之后其余位置都不变，只有相邻两个交换了位置，因为我们可以交换特定位置上的两个且可以循环左移，我们就可以任意排列这些元素，即在一个至少有两个环的点双上，两个方案只要每种颜色出现次数相同，我们就能把它们变得一样。方案数为C(m+k-1,k-1)。（画图理解）

　　把以上三种贡献乘起来即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back

using namespace std;

const int N=55,M=205,P=1e9+7;
typedef long long ll;

vector<int>e[N];
int dfn[N],low[N],dfc,st[N],tp,fac[M],ifac[M];
int n,m,k,ans=1;
set<int>dat;

int fpow(int a,int t){static int r;for(r=1;t;t>>=1,a=(ll)a*a%P)if(t&1)r=(ll)r*a%P;return r;}
int C(int n,int m){return (ll)fac[n]*ifac[m]%P*ifac[n-m]%P;}
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int polya(int n){int r=0;for(int i=1;i<=n;i++)r=(r+fpow(k,gcd(n,i)))%P;return (ll)r*fpow(n,P-2)%P;}
int permu(int m){return C(m+k-1,k-1);}

void tarjan(int x,int fa){
    dfn[x]=low[x]=++dfc,st[++tp]=x;
    for(int v:e[x])if(v!=fa){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,x),low[x]=min(low[x],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[x]){
                dat.clear();
                int n=0,m=0,las;
                do dat.insert(st[tp]),las=st[tp],st[tp--]=0,n++;while(las!=v);
                dat.insert(x),n++;
                for(int u:dat)for(int v:e[u])if(dat.count(v))m++;m>>=1;
                if(m<n)ans=(ll)ans*k%P;
                else if(m==n)ans=(ll)ans*polya(n)%P;
                else ans=(ll)ans*permu(m)%P;
            }
        }else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
    }
    if(fa==0)st[tp--]=0;
}

int main(){
    freopen("graph.in","r",stdin);
    freopen("graph.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m+k;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P;
    ifac[m+k]=fpow(fac[m+k],P-2);
    for(int i=m+k;i>=1;i--)ifac[i-1]=(ll)ifac[i]*i%P;
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)scanf("%d%d",&u,&v),e[u].pb(v),e[v].pb(u);
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i,0);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}