【编程之美学习笔记】2.2不要被阶乘吓到

我好饿吖, 为什么我现在在教室闻到了饭香味。。。

问题1.给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N=10，N=3 628 800， N！的末尾有两个0。

（好巧吖，昨天做的51nod 1003就是这个题，来分析一下吧！）

看到这题，你想完整计算N！的值吗？那可能溢出哦。其实这个问题只要从“哪些数相乘能得到10”这个角度考虑就简单啦。

首先，如果N！=k * 10^M, 且K不能被10整除，那么N！的末尾有M个0。再对N！进行质因数分解，N！=（2^X）*(3^Y)*(5^Z)…，因为10=2*5，所以M只与X和Z有关，又因为能被2整除的数出现的概率比能被5整除的数高得多，所以M = Z。

解法一：

最直接的方法就是计算i(i = 1,2…N)的因式分解中5的指数，然后求和。

int Count0(int n){
    int num = 0;
    int i, j;
    for(i = 1;i <= n;++i){
        j = i;
        while(j % 5 == 0){
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
    return num;
}

解法二：

公式：Z=[N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] + …   公式中[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/(5^2)]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5.

int Count0(int n){
    int num = 0;
    while(n){
        num += n / 5;
        n /= 5;
    }
    return num;
}

问题2.求N！的二进制表示中最低位1的位置。

为了得到更好的解法，要对题目进行转化，首先看一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。

判断最后一个二进制位是否为0：若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除。

所以这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。

解法一：

公式：X = [N/2] + [N/4] + [N/8] + [N/16] + …

int lowestOne(int n){
    int num = 0;
    while(n){
        n >>= 1;
        num += n;
    }
    return num + 1;
}

解法二：

有规律：N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。

下面对这个规律举例说明：

假设N = 11011（二进制表示，下列01串均为整数的二进制表示），那么N！中含有质因数2的个数为：

   1101 + 110 +11 + 1

= （1000 + 100 + 1） + （100 +10） + （10 + 1） + 1

= （1000 + 100 + 10 + 1） + （100 + 10 + 1） + 1

= 1111 + 111 + 1

= （10000 - 1） + （1000 - 1） + （10 -1） + （1 - 1）

= 11011  - （N二进制表示中1的个数）

很巧吧！

int lowestOne(int n){
    int num = 0;
    int t = n;
    while(t){
        t &= (t-1);
        num++;
    }
    return n - num + 1;
}