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什么是狄利克雷卷积
狄利克雷卷积定义式如下:
(large f*g(n)=sum_{d|n}f(d)*g(frac{n}{d}))
也可以写作:
(large f*g(n)=sum_{i*j=n}f(i)*g(j))
怎么算狄利克雷卷积
单独计算(f*g(n))
显然我们可以根据定义式暴力计算,枚举(i)即可,复杂度(O(sqrt{n}))
这里就不上代码了,跟暴力枚举质数长得基本上一模一样。
计算(f*g)
如果再像暴力计算那样,复杂度将达到恐怖的(O(nsqrt{n}))。
但是我们可以从质数筛(埃塞)的想法入手,我们可以直接枚举一个(i),再为它的倍数上的值加上对应的贡献就好。时间复杂度(O(nlogn))。
代码大概长这样w
void Dirichlet(int f[],int g[],int ans[],int n)
{
memset(ans,0,sizeof ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;i*j<=n;j++)
ans[i*j]+=f[i]*g[j];
}
怎么样,是不是比FFT容易一千万倍?
狄利克雷卷积有什么性质
满足:
- 交换律
- 结合律
- 分配率
单位元(f*e=f)