动态规划（入门）：各种数字三角形

一、一般的数字三角形：

        给一个由数字形成的三角形，要求从三角形的顶端开始走，走到最后一行，要求走的路径之和最大。对于一般的数字三角行，可以正着走，也可以反着走。建议最好正走，不然加强版的数字三角形倒着走走不出来。

例题：

描述
示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　1<三角形行数<25；
　　三角形中的数字为整数<1000；

输入格式
第一行为N，表示有N行
后面N行表示三角形每条路的路径权
输出格式
路径所经过的数字的总和最大的答案
测试样例1
输入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出
30

正走代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 25+5;
int maps[maxn][maxn];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(maps,0,sizeof(maps));
        for(int i=1;i<=n;i++)//从1开始并且初始化为0可以直接从（1，1）开始走
            for(int j=1;j<=i;j++)
                {
                    int now;
                    scanf("%d",&now);
                    maps[i][j] = max(maps[i-1][j],maps[i-1][j-1]) + now;
                }
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans = max(maps[n][i],ans);//正走在最后需要找出各个路径走到最后一行时最大的一个数；
        printf("%d
",ans);
    }
}

反走代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 25+5;
int maps[maxn][maxn];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(maps,0,sizeof(maps));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                scanf("%d",&maps[i][j]);
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                maps[i][j] += max(maps[i+1][j],maps[i+1][j+1]);
        printf("%d
",maps[1][1]);//反走的优势就在于此处，最大值直接就在（1，1）产生
    }
}

二、过定点的数字三角形（加强版一）

        还是数字三角形，多了一个要求，就是需要走固定的一个点。这个题的想法很有意思，化一般为特殊，具体的做法就是将固定的点加上一个很大的数，在规划的过程中就一定会走过这个点，在输出的时候将这个很大的数减去就是正确答案。但是在加上一个很大的数的时候需要计算一下，不要加上一个很大的数的时候超范围了就很尴尬了。

例题：

描述
数字三角形必须经过某一个点，使之走的路程和最大
输入格式
第1行n，表示n行 <=25
第2到n+1行为每个的权值
第n+2行为两个数x,y表示必须经过的点
输出格式
最大值
测试样例1
输入
2
1
1 1
1 1
输出
2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 25 + 5;
const int Max = 1e5;
int maps[maxn][maxn];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(maps,0,sizeof(maps));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                scanf("%d",&maps[i][j]);
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        maps[x][y] += Max;//加上最大就一定会走过此点
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                maps[i][j] += max(maps[i-1][j],maps[i-1][j-1]);
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans = max(ans,maps[n][i]);
        printf("%d
",ans - Max);//最后输出的时候不要忘记减去Max
    }
}

三、数字三角形mod100（加强版二）

        这个题很能体现动态规划的思想，记录的主要是状态，下一个状态由前一个状态得到。

        首先开一个三维数组，三位数组的前两维用来记录行和列，第三维大小开100，即0~99.用来记录状态（思考为什么是0~99）（其实第三维就是用来记录这个位置可能得到的所有的答案），看是否有这个数字，当这个数字存在的时候将第三维，也就是的这个数字记录的true（其实就是记录每次%100所得到的答案），下一个行就在上一行true的情况下转移。第【0】【0】【0】，【0】【1】【0】记录为true。这个题是将所有可能的得到的答案全部记录下来，最后遍历看最大的值。（嘴笨说不清楚）

例题：

描述
数字三角形
要求走到最后mod 100最大
输入格式
第1行n，表示n行 <=25
第2到n+1行为每个的权值
输出格式
mod 100最大值
测试样例1
输入
2
1
99 98
输出
99

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod = 100;
const int maxn = 25 + 5;
int maps[maxn][maxn];
bool dp[maxn][maxn][100];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(maps,0,sizeof(maps));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                scanf("%d",&maps[i][j]);
        dp[0][0][0] = dp[0][1][0] = true;//这个初始化很重要
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                for(int k=0;k<=99;k++)
                {
                    int now;
                    if(dp[i-1][j][k])//当上一个这个数值存在时就可以加上当前状态的值
                    {
                        now = (maps[i][j] + k)%Mod;
                        dp[i][j][now] = true;
                    }
                    if(dp[i-1][j-1][k])
                    {
                        now = (maps[i][j] + k)%Mod;
                        dp[i][j][now] = true;
                    }
                }
            }
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=0;k<=99;k++)
            {
                if(dp[n][i][k])
                {
                    ans = max(ans,k);
                }
            }
        printf("%d
",ans);
    }
}