ARC060(2020.7.8)
A
背包板子
B
首先感觉这个东西应该不能直接 (O(1)) 算出来，那么复杂度应该就是 (O(log n), O(sqrt{n}), O(sqrt{n} log n)) 之类的，看数据范围可以猜到应该不是 (O(log n)) 的（其实是不知道怎么做）。于是按照套路我们考虑根号分治，可以考虑枚举这个 (b)，那么对于 (b le sqrt{n}) 的部分，直接枚举即可，再 (O(log n)) 判断。然后我们可以发现对于 (b > sqrt{n}) 的部分，因为 (b ^ 2 > n) 那么 (n) 在 (b) 进制下最多只有两位，那么不妨设 (pb + q = n) 则 (p + q = s) 两式相减可得，(p(b - 1) = n - s)，则 (b - 1 mid n - s) 于是可以考虑枚举 (n - s) 小于 (sqrt{n - s}) 的约数 (d) 那么 (b - 1 = frac{n - s}{d}) 这一部分的复杂度同样是 (O(sqrt{n} log n)) 的，因此总复杂度 (O(sqrt{n} log n)).
C
可以发现我们可以预处理出每个点再一天内往后最远能到达的点，于是问题就变成问从一个点最少往后跳几次能跳过另一个点，那么我们可以直接分块处理，预处理出一个点走出块内第一个点需要的最短跳跃次数，于是查询只需要跳块即可。那么复杂度就可以做到 (O(n sqrt{n})) 了，那么还有没有更优秀的做法呢？实际上是有的，可以考虑倍增，那么类似于求 ( m LCA) 的倍增方式跳到下标小于另一个点的第一个点，次数 (+1) 即是答案。
D
首先有一些特殊情况，首先如果原串是不循环的，那么答案就是 (1, 1)，其次如果原串中的每个元素都相同，那么答案就是 (n, 1)，对于剩下的情况，我认为将原循环串去掉最后一位剩下的串不可能是一个循环串，于是我大胆地猜测第一问的答案是 (2)，结果还猜对了。下面是一个关于字符串循环节很关键的一个性质：
给定两个正整数 (p, q) 如果一个长度不小于 (p + q - gcd(p, q)) 的串 (S) 中存在长度为 (p, q) 的循环节，那么 (gcd(p, q)) 也是 (S) 的循环节。
考虑将循环的意义用数学语言表达下来，不难发现对于 (forall i in [1, n]) 有 (S_i = S_{i + p} = S_{i + q} = S_{i + px + qy})，根据裴蜀定理考虑到 (px + qy = gcd(p, q)) 是一定有解的，那么就会有 (S_i = S_{i + gcd(p, q)}) 也就意味着 (gcd(p, q)) 也是一个循环节。
那么我们将原串去掉最后一位之后假设剩下的串最小循环节长度为 (x)，原串最小循环节长度为 (y)，因为 (gcd(n - 1, n) = 1) 因此 (n - 1, n) 不会包含相同约数，因此 (gcd(x, y) = 1)，那么根据上面的性质，将原串继续按照循环节延长，那么 (1 sim x imes y) 这一段子串就一定会含有 (x, y) 两种循环节，那么 (gcd(x, y) = 1) 也会是一种循环节，因此原串中每一个字符都将相等与条件矛盾。
那么下面我们就只需要枚举中间的断点，判断左右是否都是不循环的即可。接下来又是一个非常重要的结论，一个字符串存在循环节的充要条件是 (exist x mid n, S_{1, n - x} = S_{x + 1, n})
首先假设 (S_{1, x}) 是上图中的绿色部分，其他颜色分别是长度为 (x) 的块，因为 (S_{1, n - x} = S_{x + 1, n}) 那么相同颜色块应该相同，又根据在原串中的位置可以得到绿色块和黄色块相同，同理又可以得到黄色块和红色块相同，以此类推可以得到原串是个循环串。
得到循环串的判定条件后我们发现需要枚举这个长度 (x)，又因为 (x mid n) 那么我们可以枚举 (n) 的约数，事实上因为我们需要知道的是前缀是否是循环的，那么第一个循环节都会是从 (1) 开始的，那么我们枚举第一个循环节的长度，那么能以该长度作为循环节的只有其倍数，那么我们再枚举一下其倍数 ( m Hash) 一下就可以 (O(1)) 判断了，后缀也是类似的。那么最终统计答案就非常简单了。
可以发现上面那个做法的复杂度是 (O(n ln n)) 的，那么能不能做到 (O(n)) 呢？事实上是可以的，需要使用到 (kmp) 的性质。
首先我们可以将判断是否循环的条件改成 (n - nxt_{n} mid n)。首先我们可以知道如果 (n - nxt_{n} mid n) 那么是一定有循环节的，类似上面的证明。下面来证明对于 (n - nxt_{n} mid n) 的情况不存在循环节。
首先考虑 (nxt) 数组的定义，不难发现有 (S_{1, nxt_n} = S_{n - nxt_n + 1, n})，那么类似于第一种做法循环节的证明方法，可以发现 (S_{1, n - nxt_n}) 也可以在原串中循环只是不能刚好循环完毕，即最后一次循环只能出现部分。我们称这种循环节为伪循环节。
首先令 (x = n - nxt_n)，假设存在一个长度为 (len) 的循环节，显然 (len e x)。首先如果 (len < x)，那么显然 (nxt_n) 可以变大，矛盾。如果 (x mid len) 既然 (len) 都能循环那么 (x) 一样能循环，矛盾。对于 (x mid len) 的情况，因为 (x mid len) 那么一定存在一个伪循环节会跨过第一个循环节和第二个循环节，假设这个伪循环节是第 (k) 个，那么 (S_{len + 1, len + x} = S_{1, x} = S_{k imes x + 1, (k + 1) imes x}) 可以发现 (S_{len + 1, len + x}, S_{k imes x + 1, (k + 1) imes x}) 重叠了一段区间且长度相同，那么 (S_{len + 1, k imes x}) 就可以作为一段新的伪循环节，且长度小于 (x)，那么 (nxt_n) 一样可以变大，矛盾。
那么我们 (kmp) 可以求出每个位置的 (nxt) 值，前缀后缀判断是可以 (O(1)) 做到的，因此总复杂度 (O(n)).
实际上循环节还有一个很奇妙的性质，即所有循环节长度都是最小循环节长度的倍数。假设存在两个个长度为 (p, q(gcd(p, q) e p)) 的循环节，(p) 为长度最小的循环节。那么显然有 (gcd(p, q) < p)，根据最开始的那条性质，(gcd(p, q)) 也是一个循环节，那么最小循环节的长度就会是 (gcd(p, q)) 而不是 (p)，矛盾。