JZOJ5153:树形图求和

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题解：

一种很直观的想法是通过矩阵生成树求树形图方法数ans以及不包含某一条边i的树形图方法数ans[i]，则答案为Σ(ans-ans[i])*w[i]。

对于树形图，矩阵生成树的建立方法是：将有向边(u,v)加入，即inc(A[u,u])（如果是要求n能够走到所有点则inc(A[v,v])），dec(A[u,v])。

删去第n行与第n列后，求行列式（即m[n,n]，m为余子式矩阵）。

对于要删去某条边情况下的m[n,n]，只要修改矩阵的两项，再求m[n,n]。因为总要删去第n行与第n列，所以只要保留(n-1)*(n-1)的矩阵，每次求整个矩阵的行列式即可。

但是这样做肯定会TLE，考虑使用伴随矩阵去优化。

有公式：

其中，A为原矩阵，A*为A的伴随矩阵，即A的代数余子式矩阵cof A的转置。（cof A[i,j]=(-1)^(i+j)*m[i,j]）

我们通过高斯消元求行列式以及矩阵求逆，计算出A*，转置得到cof A。

对矩阵行展开求行列式的公式是：

当删去一条边时，只修改了A[u,u]与A[u,v]，它们都在第u行，所以cof A的第u行不变。

我们可以按第u行展开，O(n)求解。多预处理一些东西，甚至可以O(1)求解。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mo=1000000007;
int n,m;
int ksm(int xx,int yy)
{
    int zz=1;
    while(yy)
    {
        if(yy&1)zz=(1ll*xx*zz)%mo;
        yy>>=1; xx=(1ll*xx*xx)%mo;
    }
    return zz;
}
int t[301][601];
struct matrix
{
    int a[301][601];
    void cheng(matrix &b)    //矩阵乘法
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            t[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)t[i][j]=(1ll*a[i][k]*b.a[k][j]+t[i][j])%mo;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=t[i][j];
    }
    void hswap(int i,int j)     //矩阵行交换
    {
        for(int k=1;k<=2*n;k++){ int t=a[i][k]; a[i][k]=a[j][k]; a[j][k]=t; }
    }
    void hadd(int i,int j,int l)     //矩阵行之间加减
    {
        for(int k=1;k<=2*n;k++)a[j][k]=(1ll*l*a[i][k]+a[j][k])%mo;
    }
    void qiuni()     //矩阵求逆
    {
        int flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i+n]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i; while((j<=n)and(a[j][i]==0))j++; 
            if(j>n){ flag=1; break; }
            if(i!=j)hswap(i,j);
            for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]!=0)
            {
                int xx=(1ll*a[j][i]*ksm(a[i][i],mo-2))%mo;
                hadd(i,j,(-xx)%mo);
            }
        }
        if(flag==1){ for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=2*n;j++)a[i][j]=0; return; }
        for(int i=n;i>=1;i--)
        {
            int xx=ksm(a[i][i],mo-2); hadd(i,i,(xx-1)%mo);
            for(int j=1;j<i;j++)if(a[j][i]!=0)hadd(i,j,(-a[j][i])%mo);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){ a[i][j]=a[i][j+n]; a[i][j+n]=0; }
    }
    int det()     //求矩阵行列式
    {
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)t[i][j]=a[i][j];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i; while((j<=n)and(a[j][i]==0))j++; 
            if(j>n)break;
            if(i!=j)hswap(i,j),ans=-ans;
            for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]!=0)
            {
                int xx=(1ll*a[j][i]*ksm(a[i][i],mo-2))%mo;
                hadd(i,j,(-xx)%mo);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=(1ll*ans*a[i][i])%mo;
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=t[i][j];
        return ans;
    }
    void zhuanzhi()    //矩阵转置 
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++){ int t=a[i][j]; a[i][j]=a[j][i]; a[j][i]=t; }
    }
} x,y;
int b[100001][2],w[100001];
int ans,ans2,tot;
int main()
{
    freopen("calc.in","r",stdin);
    freopen("calc.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&b[i][0],&b[i][1],&w[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(b[i][0]<n){ (x.a[b[i][0]][b[i][0]]+=1)%=mo; if(b[i][1]<n)(x.a[b[i][0]][b[i][1]]-=1)%=mo; }
    n--; int ans=x.det(); 
    int ni=ksm(ans,mo-2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)y.a[i][j]=(1ll*x.a[i][j]*ni)%mo;
    y.qiuni(); y.zhuanzhi();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(b[i][0]<=n)
    {
        ans2=0;
        (x.a[b[i][0]][b[i][0]]-=1)%=mo; if(b[i][1]<=n)(x.a[b[i][0]][b[i][1]]+=1)%=mo;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        ans2=(1ll*x.a[b[i][0]][j]*y.a[b[i][0]][j]+ans2)%mo;
        tot=(1ll*(ans-ans2)*w[i]+tot)%mo;
        (x.a[b[i][0]][b[i][0]]+=1)%=mo; if(b[i][1]<=n)(x.a[b[i][0]][b[i][1]]-=1)%=mo;
    }
    tot=(tot+mo)%mo;
    printf("%d
",tot);
}