KDtree

KDtree

What is KDtree?

KDtree(K dimensional tree) 是一个支持多维空间的数据结构，主要是将空间内的点进行区域划分，快速维护有关空间点的操作，如空间的最远（近）点对，区间搜索。KDtree的结构与线段树类似，只是线段树是对一维空间的操作，而KDtree是多维操作的，这也导致了KDtree的灵活性没有线段树高。

树上每个点维护的信息：

1. 两个儿子
2. 该点表示的空间范围（超长方体，2D为矩形，3D为长方体）
3. 中位点（坐标等信息）

Operations(Base on 2D)

Build

因为是空间划分，所以要交错地用平行与(x, y)轴的直线进行划分。

设(n)个点(p_i)。
假设现在要用平行于(y)轴的直线划分区间([L, R])((p_i))，首先初始化该点的空间范围，然后求出([L, R])按(x)坐标从小到大排序时的中位点，这个可以用nth_element来算，记录中位点((mid))，这就将([L, R])分成了([L, mid-1], [mid+1, R])两部分，然后递归两个区间，而这两个区间要用平行于(x)轴的直线进行划分，以此类推。

void build(sKDtree *&cur, int L, int R, int type)
//type==0时平行于$y$轴，type==1时平行于$x$轴
{
	if (L>R) return;
	cur=mem++; //新建一个点

//求空间范围
	int le, ri, down, up;
	le=down=inf, ri=up=0;
	for (int i=L; i<=R; ++i)
	{
		le=min(le, p[i].x);
		ri=max(ri, p[i].x);
		down=min(down, p[i].y);
		up=max(up, p[i].y);
	}
	
//求中位点
	int mid=(L+R)>>1;
	if (type) nth_element(p+L, p+mid, p+R+1, cmpy);
	else nth_element(p+L, p+mid, p+R+1, cmpx);
//点初始化
	cur->init(type, le, ri, down, up);
	cur->p=p[mid];

	build(cur->son[0], L, mid-1, type^1);
	build(cur->son[1], mid+1, R, type^1);
}

ask(以查找欧拉距离最远点为例)

假设要找离(p_0)欧拉距离最远的点。优先递归答案较优的区间，然后在递归另一个区间，这样剪枝的时候就能减掉更多的区间。例如：假设(A)是当前的最远点，则灰色区间是不用递归的。我们选择区间的四个角作为区间的代表。

inline int calc_maxdis(sKDtree *cur, Point &p0)
//选择四个角中离p0最远的那个点作为区间的代表
{
    if (!cur) return 0;
    int ans=sqr(cur->x1-p0.x)+sqr(cur->y1-p0.y);
    ans=max(ans, sqr(cur->x1-p0.x)+sqr(cur->y2-p0.y));
    ans=max(ans, sqr(cur->x2-p0.x)+sqr(cur->y1-p0.y));
    ans=max(ans, sqr(cur->x2-p0.x)+sqr(cur->y2-p0.y));
    return ans;
}
void ask(sKDtree *&cur, Point &p0, int &dis)
{
    if (!cur) return;
    if (calc_maxdis(cur, p0)<=dis) return; //dis是当前最远距离

    dis=max(dis, sqr(cur->p.x-p0.x)+sqr(cur->p.y-p0.y));
    
    //判断哪个区间更优
    int nid=1;
    int d[2];
    d[0]=calc_maxdis(cur->son[0], p0);
    d[1]=calc_maxdis(cur->son[1], p0);
    if (d[0]>d[1]) nid^=1;

    //大于当前最优答案的区间进行搜索
    if (d[nid]>dis) ask(cur->son[nid], p0, dis);
    if (d[nid^1]>dis) ask(cur->son[nid^1], p0, dis);
}

k近邻

(k)近邻是指找到第(k)近的点，查找的时候与找最近邻类似，只不过要维护一个大根堆，维护当前(k)个点中的最远距离，如果当前点比最远距离要小，则更新大根堆，而且利用最远距离可以减掉那些不在当前第(k)距离内的区间。

注意：由于建树方式的特殊性，使得KDtree难以支持插入操作。

附上模板：Base Stations

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=int(1e9);
const int maxn=int(1e5)+100;
const int maxm=105;

struct base
{
    int x, y, type;

    bool operator < (const base b) const
    {
        return type<b.type;
    }
};

struct sKDtree
{
    sKDtree *son[2];
    base p;
    int sum[maxm];
    int total;
    int x1, x2, y1, y2;
    int type;

    inline void init(int _type=0, int _x1=0, int _x2=0, int _y1=0, int _y2=0)
    {
        total=0;
        for (int i=0; i<maxm; ++i) sum[i]=0;
        son[0]=son[1]=NULL;
        x1=_x1; y1=_y1; x2=_x2; y2=_y2;
        type=_type;
    }

    void updata()
    {
        if (son[0])
        {
            for (int i=0; i<maxm; ++i)
                sum[i]+=son[0]->sum[i];
            total+=son[0]->total;
        }
        if (son[1])
        {
            for (int i=0; i<maxm; ++i)
                sum[i]+=son[1]->sum[i];
            total+=son[1]->total;
        }
    }
};

int n;
base station[maxn];
sKDtree memory[maxn*2];
sKDtree *mem=memory;
sKDtree *KDtree;

inline int sqr(int x)
{
    return x*x;
}
void read()
{
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        base &cur=station[i];
        scanf("%d%d%d", &cur.x, &cur.y, &cur.type);
    }
}
inline bool cmp0(base &b, base &c)
{
    return b.x<c.x;
}
inline bool cmp1(base &b, base &c)
{
    return b.y<c.y;
}
void build(sKDtree *&cur, int L, int R, int type)
{
    if (L>R) return;
    cur=mem++;

    int le, ri, down, up;
    le=down=inf, ri=up=0;
    for (int i=L; i<=R; ++i)
    {
        base &cur=station[i];
        le=min(le, cur.x);
        ri=max(ri, cur.x);
        down=min(down, cur.y);
        up=max(up, cur.y);
    }
    int mid=(L+R)>>1;
    if (type) nth_element(station+L, station+mid, station+R+1, cmp1);
    else nth_element(station+L, station+mid, station+R+1, cmp0);

    cur->init(type, le, ri, down, up);
    cur->p=station[mid];
    cur->sum[station[mid].type]++;
    cur->total=1;
    build(cur->son[0], L, mid-1, type^1);
    build(cur->son[1], mid+1, R, type^1);
    cur->updata();
    if (cur->son[0])
    {
        for (int i=0; i<maxm; ++i)
            cur->sum[i]+=cur->son[0]->sum[i];
        cur->total+=cur->son[0]->total;
    }
    if (cur->son[1])
    {
        for (int i=0; i<maxm; ++i)
            cur->sum[i]+=cur->son[1]->sum[i];
        cur->total+=cur->son[1]->total;
    }
}
inline int calc_maxdis(sKDtree *cur, base &psta)
{
    if (!cur) return 0;
    int ans=sqr(cur->x1-psta.x)+sqr(cur->y1-psta.y);
    ans=max(ans, sqr(cur->x1-psta.x)+sqr(cur->y2-psta.y));
    ans=max(ans, sqr(cur->x2-psta.x)+sqr(cur->y1-psta.y));
    ans=max(ans, sqr(cur->x2-psta.x)+sqr(cur->y2-psta.y));
    return ans;
}
void ask(sKDtree *&cur, base &psta, int &dis)
{
    if (!cur) return;
    if (cur->total==cur->sum[psta.type]) return;
    if (calc_maxdis(cur, psta)<=dis) return;

    if (cur->p.type!=psta.type)
        dis=max(dis, sqr(cur->p.x-psta.x)+sqr(cur->p.y-psta.y));
    
    int nid=1;
    int d[2];
    d[0]=calc_maxdis(cur->son[0], psta);
    d[1]=calc_maxdis(cur->son[1], psta);
    if (d[0]>d[1]) nid^=1;

    if (d[nid]>dis) ask(cur->son[nid], psta, dis);
    if (d[nid^1]>dis) ask(cur->son[nid^1], psta, dis);
}
void solve()
{
    for (int i=0; i<=n; ++i) (memory+i)->init();
    mem=memory;
    KDtree=NULL;

    int ans=0;
    build(KDtree, 1, n, 0);

    for (int i=1; i<=n; ++i)
        ask(KDtree, station[i], ans);
    
    printf("%d
", ans);
}
int main()
{
    while(scanf("%d", &n)==1 && n)
    {
        read();
        solve();
    }
    return 0;
}