期望值

期望值

这个星期恶补了一下期望值，感觉有些题目还是挺灵活的，只要方向正确，基本上都能把公式写出来。
论文《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决》

期望值的基本公式

1、如果(X)是一个离散的随机变量，输出值为(x_1, x_2, ...) 和输出值相应的概率为(p_1, p_2, ...)（概率和为 1), 那么期望值(E(X)=sum_i p_ix_i)
2、对于任意随机变量(X,Y)以及常量(a,b), (E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y))
3、档两个随机变量(X,Y)独立且各自都有一个期望时，有(E(X cap Y)=E(X)E(Y))

problems

聪聪与可可(NOI2005)

题目描述：有一个拥有(n)个点的无向图，聪聪和可可分别在一个点，可可每个时间单位都会选择去相邻的一个点或者不动（概率相等），而聪聪每个时间单位会走到可以缩短他们之间距离的点，如果有多个则选择编号最小的点，如果这时聪聪和可可不在同一个点，那么聪聪可以再走多一步而不花费时间，聪聪先走，求平均聪聪需要多长时间才能与可可在同一个点。

solution
先预处理出(next[i][j]),表示聪聪在(i), 可可在(j)时，聪聪下一步走哪里，还有每个点的度(d[i])。设(f[i][j])为当聪聪在(i),可可在(j)时的期望时间。则((to[j][k]))表示与(j)相连的第(k)个点。

[nid=next[next[i][j]][j] ]

[f[i][j]=frac{sum_{k=1}^{d[i]} f[nid][to[j][k]]+f[nid][j]}{d[i]+1}+1 ]

(f[i][i]=0, f[i][j]=1(if) (nid==j) (or) (next[i][j]==j))
记忆化搜索即可。

Highlander(SGU 385)

题目描述：随机给出(1)到(n), (n)个数字的一个错位排列 (a), 对应了一张有向图(G = (V, E))，其中(V=){(1, 2, …,n)}(, E=){((i, a_i))}。问在最长环上的顶点数的期望值。

solution
首先，这些环都是简单环且没有自环。重要的是知道在(m)个数字中取出(k)个数字组成一个环有(frac{A_m^k}{k})种方案，如果有(i)个环长度相同，则需除以(A_i^i)。
设(f[i][j][k])表示错位排列中(i)个数字已经确定，最长环为(j)， 且有(k)个长度为(j)的环的方案数，为避免重复计算，设定环的长度递增不下降。

[f[i][j][k]=left{egin{matrix} frac{A_n^j}{j} (i==j, j>1, k=1)\ f[i-j][j][k-1]*frac{A_{n-i+j}^j}{j}(2 leq j leq i-2, 1 < k < lfloor frac{i}{j} floor)\ sum_{k=2}^{min(j, i-j+1)} g[i-j][k]*frac{A_{n-i+j}^j}{j}(2 leq j leq i-2, k==1)\ 0 (else) end{matrix} ight. ]

[g[i][j]=sum_{k=1}^{lfloor frac{i}{j} floor} f[i][j][k] ]

[ans=frac{sum_{j=2}^{j leq n} sum_{k=1}^{k leq n} j*k*f[n][j][k]}{sum_{j=2}^{j leq n} sum_{k=1}^{k leq n} f[n][j][k]} ]

Red is good (TopCoder SRM420 Div1)

题目描述：有(R)张红牌和(B)张黑牌， 随机打乱然后一张一张地翻牌，翻到红牌得到 1 美元，黑牌则付出 1 美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。

solution
用(f[i][j])表示剩下(i)张红牌和(j)张黑牌获得钱的期望。

[f[i][j]=left{egin{matrix} max(0, (f[i-1][j]+1)*frac{i}{i+j}+(f[i][j-1]-1)*frac{j}{i+j}) (i>0, j>0)\ f[i-1][j]+1 (i>0, j==0)\ 0 (i==0) end{matrix} ight. ]

(f[R][B])即为所求

收集邮票(bzoj1426)

题目描述：有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

solution
设(f[i])表示现有(i)种邮票，期望还要买(f[i])张，(f[n]=0)
(f[i]=f[i]*frac{i}{n}+f[i+1]*frac{n-i}{n}+1)
设(g[i])表示现有(i)种邮票，期望还要(g[i])元，(g[n]=0)
(g[i]=(g[i]+f[i])*frac{i}{n}+(f[i+1]+g[i+1])*frac{n-i}{n}+1)
买一张邮票时已经预支付了后面每张邮票各1元，所以可以看成当前邮票只是1元。(g[0])即为答案。

tribbles(uva11021)

题目描述：一开始有(n)个球，每个球只活1天，在死之前，每个球有(P_i)(最多生(s-1)只)的概率生出(i)个球，问(m)天后全部死亡的概率。

solution
因为每个球都是独立的，所以只要算出一个球及其后代第(m)天全部死亡的概率(f[m])，答案就是(f[m]^n)

[f[i]=sum_{j=0}^{j<s} P_j * f[i-1]^j ]

(f[i])可理解为剩下(i)天全部死亡的概率，假如生了(j)个球，那么每个球在剩下的(i-1)天全部死亡的概率为(f[i-1])，(j)个球就是(j)次方。

取球游戏(bzoj4204)

题目描述：给出(1)到(n)的标号和(m)个球，每次随机取一个球，将其标号+1之后放回，如果取出的标号是(n)就置为(1)，求执行(k)次操作之后每种球的期望个数。

solution
设(f[i][j])表示第(i)次操作后，标号为(j)的球的期望个数
(f[i][j]=(1-frac{f[i-1][j]}{m})*f[i-1][j]+frac{f[i-1][j]}{m}*(f[i-1][j]-1)+frac{f[i-1][j-1]}{m})
(=f[i-1][j]-frac{f[i-1][j]}{m}+frac{f[i-1][j-1]}{m})
因为(k)比较大，所以考虑用矩阵乘法，然后发现矩阵是一个循环矩阵，所以矩阵乘法可优化为(O(n^2))

概率充电器(bzoj3566)

题目描述：给出一棵(n)个点的树，再给出每个点是电源的概率，每条边导电的概率，问期望有多少个点带电。

solution
这题求每个点带电的概率有点麻烦，而求每个点不带电的概率比较好算。设(f[i])为第(i)个点由它的儿子影响下，不带电的概率，(g[i])则表示由父亲影响。(p_{ij})为(i,j)边的导电概率，(q_i)为(i)为电源的概率。

[f[i]=prod_{j in son[i]} (1-p_{ij}+p_{ij}f[j])(1-q_i) ]

求(g[i])的时候要求出(i)的父亲(fa)不导电的概率，这时要除去(i)对(fa)的影响。设(tmp)为除去(i)后(fa)不导电的概率，

[tmp=frac{f[fa]*g[fa]}{1-p_{ifa}+p_{ifa}*f[i]} ]

[g[i]=tmp+(1-tmp)*(1-p_{ifa}) ]

注意判断(tmp)的分母是否为(0).

以上所讲的都是用递推式来求期望值，如果把这些递推式看成是一条条方程，在时间允许的条件下，也可以用高斯消元来求答案。

水水的例题

题目描述：给出一张图，给出每条边的长度，在一个点走到相邻的每个点的概率是相等的，问从(1)号点走到(n)号点的期望长度。

solution
如果这时无环有向图，那么就可以用递推式的方法来做，问题是这道题是无向有环图，只有对于每个点列出方程，然后用高斯消元求解。

First Knight(SWERC 2008 Problem B)

题目描述：给出一个(n*m)的矩形棋盘，给出每个格子走到相邻四个格子分别的概率（每个格子的不同），问从((1, 1))走到((n, m))的期望步数。

solution
貌似方程很容易就可以列出来，但数据范围是(n,m in [1, 40]).(O(n^3m^3))肯定过不了。但可以对高斯消元进行优化。
首先，让((1, 1))这一未知数最后消元，这样就不用回代了。
接着，上图（取自《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》ppt）

即与当前未知量有关的方程数只有(m)个，而这(m)的方程涉及的未知量只有(2m+1)个，所以最终的时间复杂度为(O(nm^3))