NOI2011 Day1

NOI2011 Day1

兔农

题目描述：(fib[1]=fib[2]=1, fib[i]=fib[i-2]+fib[i-1] (igeq 3)),若(fib[i] equiv 1(mod k)(i geq 3)),则(fib[i]=fib[i]-1)，已知(k, P)，求(fib[n] mod P)

solution：
先看一下当(k=7)时，(fib[i] mod k):（每行的最后一个数变为0）

1, 1, 2, 3, 5, 1
5, 5, 3, 1
3, 3, 6, 2, 1
2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 0, 5, 5, 3, 1
3, 3, 6, 2, 1
……

出现循环了，也就是说这是有循环节的，而且每一行都是一个斐波那契数列，由于每行的最后一个数为(0),下一行的第一个数变成了该行的倒数第二个数，下一行的第二个数与第一个数相同，构成新的斐波那契数列的首两项。
设每行首项为(X)，每一项除以(X)，就是原来的斐波那契数列。
令(X*fib[i] equiv 1 (mod k))成立的最小的(i)记为(Len[X])，这就是以(X)为首项的长度，如果(Len[x])不存在，则说明以后都不会再减一，之后就按照斐波那契数列去做就好了。
求(Len[X])，就要求(X)的逆元，因为(k)不一定是质数，只好用扩展欧几里得求出(fib[Len[X]])，从而求出(Len[x])。
计算斐波那契数列时用到矩阵乘法，自己构造一下就好了。
这题的可行性在于一个结论：模(k)意义下的斐波那契数列的循环节(leq 6k)

时间复杂度：(O(6k))

智能车比赛

题目描述：给出(n)个矩形，第(i)个矩形区域的左下角和右上角坐标分别为((x_{i,1},y_{i,1}))和((x_{i,2},y_{i,2})), 保证(x_{i,1}<x_{i,2}=x_{i+1,1},y_{i,1}<y_{i,2})，给出起点坐标与终点坐标，只能在矩形内行走，问起点到终点的最短路径。

solution：
只有相邻两个矩形的重边的端点是有用的，然后(n^2)连边，最短路。

时间复杂度：因算法而异

阿狸的打字机

题目描述：给出一串操作，包含小写字母或('B','P')，小写字母表示在字符串末尾添加该字母（字符串一开始为空），('B')为删去最后一个字母，('P')为输出当前字符串。有若干个询问((x, y))，问第(y)个输出的字符串包含多少个第(x)个输出的字符串。

solution：
容易想到AC自动机+fail-tree，然后把询问离线读入，按(y)从小到大排序。在fail-tree中，任意一个点的子树的字符串都包含该点所对应的字符串。
按照操作顺序模拟，将(y)到根的点(+1)（AC自动机），查找(x)的子树的和（fail-tree）即为答案。

时间复杂度：(O(nlogn))