题解-洛谷P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数）

题面

洛谷P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数）

给定两个字符串 (a,b)，要求出两个数组：(b) 的 (z) 函数数组 (z)、(b) 与 (a) 的每一个后缀的 LCP 长度数组 (p)。

数据范围：(1le |a|,|b|le 2 imes 10^7)。

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蒟蒻语

别的题解为什么代码那么长、讲解那么复杂？蒟蒻不解，写篇易懂一点的，希望没有错误理解。

注意：蒟蒻的下标是从 (0) 开始的。

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蒟蒻解

定义 (z(i) (i>0))：后缀 (i) 与字符串的 LCP 长度，劝退一点地说：

[z(i)=max_{len=1}^{|s|-i} left(lencdot [forall 0le x<len,s[(0)+(x)]=s[(i)+(x)]] ight) ]

对于求字符串 (s) 的 (z) 函数，可以用递推解决一部分问题，蒟蒻先放上精美的代码：

这里特定 (z(0)=0)（题目中 (z(0)=|s|)）。

void getz(string s){
    int l=0;
    R(i,1,sz(s)){
        if(l+z[l]>i) z[i]=min(z[i-l],l+z[l]-i);
        while(i+z[i]<sz(s)&&s[z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
        if(i+z[i]>l+z[l]) l=i;
    }
    // R(i,0,sz(s)) cout<<z[i]<<" ";cout<<'
';
}

结论： 对于 (i>0)，对任意 (0le l<i) 都可以递推得：

[forall 0le x<min(z(i-l),l+z(l)-i),s[(i)+(x)]=s[(0)+(x)] ]

证明：

[egin{aligned} &s[(i)+(x)]\ =&s[(l)+(i+x-l)]\ =&s[(0)+(i+x-l)]color{red}{(xle l+z(l)-i)}\ =&s[(i-l)+(x)]\ =&s[(0)+(x)]color{red}{(xle z(i-l))}\ end{aligned} ]

所以可以选定某个 (0le l<i)，初始化 (z(i)=min(z(i-l),l+z(l)-i))，然后暴力判断字符相等增加 (z(i))。

这里 (l) 选满足 (j+z(j)(0le j<i)) 最大的 (j)，这样每个字符只会被暴力判断一次，所以时间复杂度可以做到 (Theta(n))。

对于题目中的问题其实把 (b) 和 (a) 接起来做个 (z) 就可以了。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define Be begin()
#define En end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i<I;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(b)-1,I=(a)-1;i>I;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=2e7;
ll ansz,ansp;
string a,b;

//Zfunction
int z[N<<1];
void getz(string s){
    int l=0;
    R(i,1,sz(s)){
        if(l+z[l]>i) z[i]=min(z[i-l],l+z[l]-i);
        while(i+z[i]<sz(s)&&s[z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
        if(i+z[i]>l+z[l]) l=i;
    }
    // R(i,0,sz(s)) cout<<z[i]<<" ";cout<<'
';
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>a>>b,getz(b+a);
    ansz^=1ll*(sz(b)+1)*(0+1);
    R(i,1,sz(b)) ansz^=1ll*(min(z[i],sz(b)-i)+1)*(i+1);
    R(i,0,sz(a)) ansp^=1ll*(min(z[i+sz(b)],sz(b))+1)*(i+1);
    cout<<ansz<<'
'<<ansp<<'
';
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！