题解-Little C Loves 3 III

Little C Loves 3 III

给定 (n) 和序列 (a_0,a_1,dots,a_{2^n-1}) 和 (b_0,b_1,dots,b_{2^n-1})，求序列 (c_0,c_1,dots,c_{2^n-1}) 满足

[c_i=left(sum_{j|k=i,j&k=0} a_jcdot b_k ight)mod 4 ]

数据范围：(a_i,b_iin[0,3])，(0le nle 21)。

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看到 (j|k=i) 便知道要搞个 (or) 运算的 ( exttt{FWT})，但是如何使得同时满足条件 (j&k=0) 呢？

设 (bits(x)) 表示 (x) 在二进制下的位数。

考虑如下 (3) 个可以利用的因素：

1. (mod 4) 相当于在二进制下取两位。

2. 同时满足 (j|k=i,j&k=0) 必有 (bits(j)+bits(k)=bits(i))。

3. 如果满足 (j|k=i)，且 (bits(i)) 一定，必有 (bits(j)+bits(k)ge bits(i))。

所以可以令 (f_i=a_icdot 4^{bits(i)},g_i=b_icdot 4^{bits(i)})，通过 ( exttt{FWT}) 得到 (ans_i=sum_{j|k=i}f_jcdot g_k)，然后最后的答案 (c_i=left(frac{ans_i}{4^{bits(i)}} ight)mod 4)。

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抽象地解释一下：

( exttt{[]}) 表示两个二进制位（为 (0)），( exttt{<>}) 表示其他（除了答案两位）位的值，是由 (c_i) 溢出两位或者由满足 (bits(j)+bits(k)>bits(i)) 的 (j,k) 变换得的值，可以抛弃。

(f_j:a_junderbrace{ exttt{[][]...[][]}}_{bits(j)'s exttt{[]}})

(g_k:b_kunderbrace{ exttt{[][]...[][]}}_{bits(k)'s exttt{[]}})

(ans_i: exttt{<><>...<><>}c_iunderbrace{ exttt{[][]...[][]}}_{bits(i)'s exttt{[]}})

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小蒟蒻或许讲不清楚，但我就这个水平了。放代码吧，注意 (f_j,g_k) 开 ( exttt{long long})。

//Data
const int M=21,N=1<<M;
int n,m,bit[N+7];
int bits(int x){return (x==0)?0:bit[x]?bit[x]:(bit[x]=bits(x-(x&-x))+1);}


//FWT
void fwt(lng f[],int t){ //or fwt 模板
	for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
		for(int i=0;i<n;i+=mid<<1)
			for(int j=i;j<mid+i;j++) f[mid+j]+=f[j]*t;
}
lng f[N+7],g[N+7],ans[N+7];

//Main
int main(){
	n=1<<(m=ri);
	for(int i=0,c;i<n;i++){
		while(!isdigit(c=fr()));
		f[i]=(15ll&c)<<(bits(i)<<1); 
                //这题是在 CF 上交的，有很多奇奇怪怪的错误，反正这里只能写 15ll&c，写 (lng)(c-'0') 都会挂
	}
	for(int i=0,c;i<n;i++){
		while(!isdigit(c=fr()));
		g[i]=(15ll&c)<<(bits(i)<<1);
	}
	fwt(f,1),fwt(g,1);
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i]=f[i]*g[i]; // CF 会显示这里挂了
	fwt(ans,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld",(ans[i]>>(bits(i)<<1))&3);
	putchar('
');
	return 0;
}

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萌新初学多项式，巨佬多多指教，觉得写得不清楚就在评论中随意 ( exttt{D})。祝大家学习愉快！