题解-[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

题解-[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

前置知识：

邻接矩阵

矩阵乘法

矩阵快速幂

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[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

给一个有 (N) 个点，(M) 条双向边的图 (G)，其中有 (NFish) 只鳄鱼以 (T) 个点 (P_0sim P_t) 为周期运动。求从 (Start) 出发到 (End) 不停留走 (K) 步每步不碰到鳄鱼的方案数（节点下标从 (0) 开始编号）。

数据范围：(1le Nle 50)，(1le Kle 2 imes 10^9)，(1le NFishle 20)，(2le Tle 4)。

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看到这个 (K) 的范围就知道要带个 (log)，而在图上可以带 (log) 的算法，唯有二分、倍增（树形图）和邻接矩阵快速幂（小图）。看到这题 (N) 很小，又无从二分，便知道可以邻接矩阵快速幂。

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首先要知道什么是矩阵乘法。大小为 (a imes b) 的矩阵 (A) 和大小为 (b imes c) 的矩阵方可相乘，乘积矩阵 (C) 大小为 (a imes c)，满足 (C_{i,j}=sumlimits_{k=1}^bA_{i,k}cdot B_{k,j}(1le ile a,1le jle c))。

矩阵乘法可以解决集合的定向求和变换操作。其中原矩阵乘以变换矩阵变成目标矩阵。

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矩阵快速幂：原矩阵多次定向变换，可以通过多次乘以变换矩阵解决。矩阵乘法满足结合律，所以可以先求出变换矩阵的幂。矩阵也可以快速幂，时间复杂度 (Theta(n^3log k))。

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邻接矩阵：用于表示图边，在无权图中，如果矩阵 (M) 的元素 (M_{i,j}=1)，表示存在边 ((i,j))。

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而邻接矩阵快速幂就是建立在邻接矩阵和矩阵快速幂上的。原矩阵表示起点状态，变换矩阵为邻接矩阵，每乘一次就表示不停留地走一步后的状态，乘 (K) 次就成了最终状态，取终点矩阵值则为答案。

状态：到每个节点的方案数。

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Example

讲解时暂时初始下标为 (1) 吧，暂时不考虑鳄鱼。

例如 (N=3)，(Start=1)，(End=3)，有双向边 ({(1,3),(3,2)})，求走 (K=3) 步后到终点 (End) 的方案数。

原始状态：

[A= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]

变换矩阵为邻接矩阵：

[B= egin{bmatrix} 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 1\ 1 & 1 & 0\ end{bmatrix} ]

目标状态：

[egin{split} C=&A imes B^K\ =& egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 1\ 1 & 1 & 0\ end{bmatrix} ^3\ =& egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 0 & 0 & 2\ 0 & 0 & 2\ 2 & 2 & 0\ end{bmatrix}\ =& egin{bmatrix} 0 & 0 & 2\ end{bmatrix} end{split} ]

所以到终点 (End=3) 的方案数为 (2)。

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但是鳄鱼怎么办呢？

可以发现 (2le Tle 4)，所以所有鳄鱼运动的总周期是 (12)。可以计算 (12) 种变换邻接矩阵，表示到每个周期时可以走的边。然后顺次相乘，求乘积的 (lfloorfrac K{12} floor) 次幂（可以用矩阵快速幂）乘以 前 (left(Kmod 12 ight)) 种变换矩阵的乘积，就是总变换矩阵。用表示起点的原矩阵乘以总变换矩阵，即可得答案。

时间复杂度 (Theta(NFish+N^3log K))（注意，(NFish) 为一个完整变量名）。

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真的难讲，还是放代码吧。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define il inline
#define hash unorded_map
typedef long long lng;
typedef unsigned long long ulng;
typedef vector<int> veci;
#define fo(i,st,xb,y) for(re int i=st;i xb;i y)

//&Data
#define N 50
#define mod 10000
int n,m,s,t,k,fish,p[25][12];

//&Matrix
struct Matrix{ //矩阵
	int arr[N+5][N+5];
	Matrix(re int op=0){
		memset(arr,0,sizeof arr);
		if(op==1) fo(i,1,<=N,++) arr[i][i]=1; //构造单位矩阵 E 满足 E*A=A*E=A
	}
	il int* operator[](re int x){return arr[x];} 
	il friend Matrix operator*(re Matrix x,re Matrix y){
		re Matrix res;
		fo(k,1,<=N,++)fo(i,1,<=N,++)fo(j,1,<=N,++)
			(res[i][j]+=x[i][k]*y[k][j]%mod)%=mod;
		return res;
	}
	il void print(re char*s){
		puts(s);
		fo(i,1,<=n,++)fo(j,1,<=n,++)
			printf("%d%c",arr[i][j],"
 "[j<n]);	
	}
}st,e,g[12],all,ans;
il Matrix Pow(re Matrix a,re int x){ //矩阵快速幂
	re Matrix res(1);
	for(;x;a=a*a,x>>=1)if(x&1) res=res*a;
	return res;
}

//&Main
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t,&k);
	s++,t++,st[1][s]=1; //原矩阵
	fo(i,1,<=m,++){
		re int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u+1][v+1]=e[v+1][u+1]=1; //邻接矩阵
	}
	scanf("%d",&fish);
	fo(i,1,<=fish,++){
		re int tmp; scanf("%d",&tmp);
		fo(j,0,<tmp,++) scanf("%d",p[i]+j),p[i][j]++;
		fo(j,tmp,<12,++) p[i][j]=p[i][j%tmp];
	}
	re int fb[N+5];
	fo(i,0,<12,++){
		fill(fb+1,fb+n+1,0);
		fo(j,1,<=fish,++) fb[p[j][i]]=1;
		fo(j,1,<=n,++)fo(k,1,<=n,++)
			if(!fb[k]) g[i][j][k]=e[j][k]; //12种变换矩阵
	}
	all=Matrix(1);
	fo(i,1,<12,++) all=all*g[i];
	all=all*g[0]; //12个矩阵顺次相乘（1,2,...,11,0）
	ans=st*Pow(all,k/12); //原矩阵乘以变换矩阵
	fo(i,1,<=k%12,++) ans=ans*g[i]; //乘以剩余 K%12 个矩阵
	printf("%d
",ans[1][t]); //答案
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！