作用：单文本串多模式串匹配。
前置知识：trie树。
AC自动机可以看作是在字典树上做 KMP，但并不是把 KMP 算法放到树上来，而是用了一种和 KMP 类似的思想，即在字典树上匹配文本串的时候如果失配，就跳到 \(fail\) 指针所指的节点，所以学AC自动机没必要精通 KMP。
拿例题来讲：给定 \(n\) 个模式串和 \(1\) 个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。
那么要先构造一个字典树将上述字符串存储，代码如下：
class Trie{
public:
int ch[N][26],mk[N],cnt;
Trie(){cnt=1;}
void insert(char*s){
int n=strlen(s+1),x=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int c=s[i]-'a'+1;
if(!ch[x][c]) ch[x][c]=++cnt;
x=ch[x][c];
}
mk[x]++;//以该节点为结尾的模式串数
}
};
比如有这些模式串：
\(\texttt{kony}\)
\(\texttt{wen}\)
\(\texttt{emm}\)
\(\texttt{kib}\)
那么构造成的字典树会长这样：
AC自动机就是在字典树的基础上，对于每个节点 \(x\)，增加一个指针 \(fail[x]\)，如上文所述，用来在失配时跳转指针，这样如果匹配失败就不需要回溯了。
如上图，根节点的子节点，即第一层的的节点 \(x\)，应该有 \(fail[x]=1\)，即如果在第一个字符失配，就从头开始再找（如下图，黄色箭头表示 \(fail[]\)）。
如果节点 \(x\) 没有子节点 \(ch[x][c]\)，那么 \(ch[x][c]=ch[fail[x]][c]\)，相当于由于没有该字符子节点而失配（末尾符失配），自动跳转 \(fail\)（如下图，紫色箭头表示 \(ch[][]\)）。
为了简化问题，后文图中不加末尾符失配紫色指针。
按 \(bfs\) 序遍历字典树。如果节点 \(x\) 有子节点 \(ch[x][c]\)，那么 \(fail[ch[x][c]]=ch[fail[x]][c]\)，即如果失配就跳到最相邻已经遍历过的字符为 \(c\) 的节点中。如果目前还没有发现字符为 \(c\) 的节点，就令 \(fail[ch[x][c]]=1\)。如下图：
这是构造AC自动机 \(fail[]\) 数组的代码：
void build(){
for(int i=1;i<=26;i++) ch[0][i]=1;//把1节点的子节点同样操作
queue<int> q;while(q.size()) q.pop();q.push(1);//☆
while(q.size()){//按bfs序求fail 指针
int x=q.front();q.pop();
for(int i=1;i<=26;i++)
if(ch[x][i]) fail[ch[x][i]]=ch[fail[x]][i],q.push(ch[x][i]);//☆
else ch[x][i]=ch[fail[x]][i];//☆
}
}
最后构造好 \(fail\) 指针以后的字典树就是AC自动机，长这样：
然后就是重点了——应用 \(fail\) 查找有几个模式串在文本串中出现。代码如下：
int fapp(char*s){
int n=strlen(s+1),x=1,res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
x=ch[x][s[i]-'a'+1];
for(int j=x;j&&mk[j]!=-1;j=fail[j])//mk置为-1防止重复计算
res+=mk[j],mk[j]=-1;
}
return res;
}
这时候你会很惊骇：这哪是失配跳转啊，这分明就是指针乱飞！其实仔细想的话，其实是指针在整个AC自动机间穿梭（说了等于没说），由于之前的紫色箭头 \(ch[][]\) 指针，指针表面上顺着字典树走的同时，也在自动末尾符失配跳转，即单前字典树节点如果没有某个字符子节点，就会自动跳到有该字符的节点上或者根节点。而后面那句 \(fail\) 指针跳转的 \(\texttt{for}\) 循环，就求出了单前节点到根节点所连成的字符串的后缀的出现次数。
然后如上一波猛如犇的操作以后，答案——模式串在文本串中出现的次数就出现了。如果你懂了，蒟蒻就放代码了：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
class Trie{
public:
int ch[N][26],mk[N],cnt;
Trie(){cnt=1;}
void insert(char*s){
int n=strlen(s+1),x=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int c=s[i]-'a'+1;
if(!ch[x][c]) ch[x][c]=++cnt;
x=ch[x][c];
}
mk[x]++;
}
};
class Acam:public Trie{//Class 继承
public:
int fail[N];
void build(){
for(int i=1;i<=26;i++) ch[0][i]=1;
queue<int> q;while(q.size()) q.pop();q.push(1);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=1;i<=26;i++)
if(ch[x][i]) fail[ch[x][i]]=ch[fail[x]][i],q.push(ch[x][i]);
else ch[x][i]=ch[fail[x]][i];
}
}
int fapp(char*s){
int n=strlen(s+1),x=1,res=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
x=ch[x][s[i]-'a'+1];
for(int j=x;j&&mk[j]!=-1;j=fail[j])
res+=mk[j],mk[j]=-1;
}
return res;
}
}m;
int num;
char s[N];
int main(){
scanf("%d",&num);
for(int i=1;i<=num;i++)
scanf("%s",s+1),m.insert(s);
m.build();
scanf("%s",s+1);
printf("%d\n",m.fapp(s));
return 0;
}
可是如果字符串一多，字典树一大，那么那个重要的语句：
for(int j=x;j&&mk[j]!=-1;j=fail[j])
res+=mk[j],mk[j]=-1;
反而会造成时间超限，如这道例题：
洛谷P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）
如果你直接按上面的代码改改，会 \(\texttt{TLE75分}\)。
是时候优化如上穿梭指针语句了，那么怎么优化呢？我们发现如果把 \(fail[]\) 看成一些边，就会构成一个 \(\texttt{DAG}\) ，而答案更新又是按照 \(fail[]\) 数组跳指针的，这时我们必须有想到一个算法的直觉：拓扑排序。
因为不跳 \(fail\) 了，所以就不需要 \(mk[x]\) 数组标记以 \(x\) 节点为结尾的字符串数了。因为要拓扑排序，所以记录每个字符串编号 \(i\) 的终止节点 \(en[i]\)。所以 \(\texttt{insert()}\) 函数长这样：
void insert(char*s,int x){
int n=strlen(s+1),p=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int c=s[i]-'a'+1;
if(!ch[p][c]) ch[p][c]=++cnt;
p=ch[p][c];
}
en[x]=p;
}
然后AC自动机的 \(fail\) 构造函数不变，因为要拓扑求答案，所以对于每个字符，只需要在该字符结尾的最长串加上标记即可。所以 \(\texttt{fapp()}\) 求答案函数要变成这样：
void fapp(char*s){
int n=strlen(s+1),p=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
//mk[p=ch[p][s[i]-'a'+1]]++; 这么写对萌新不友好
p=ch[p][s[i]-'a'+1],mk[p]++;
}
然后按 \(fail\) 指针加反边：
for(int i=2;i<=m.cnt;i++) g[m.fa[i]].push_back(i);
然后拓扑求答案即可：
void dfs(int x){
for(auto to:g[x]) dfs(to),m.mk[x]+=m.mk[to];
}
最后对于每个字符串编号 \(i\)，\(mk[en[i]]\) 就是该模式字符串在文本串中出现的次数。如果你都懂了，那么蒟蒻就放代码了：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10,T=2e6+10;
class Trie{
public:
int cnt,ch[N][30],en[N],mk[N];
Trie(){cnt=1;}
void insert(char*s,int x){
int n=strlen(s+1),p=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int c=s[i]-'a'+1;
if(!ch[p][c]) ch[p][c]=++cnt;
p=ch[p][c];
}
en[x]=p;
}
};
class Acam:public Trie{
public:
int fa[N];
void build(){
for(int i=1;i<=26;i++) ch[0][i]=1;
queue<int> q;while(q.size()) q.pop();q.push(1);
while(q.size()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=1;i<=26;i++)
if(ch[x][i]) fa[ch[x][i]]=ch[fa[x]][i],q.push(ch[x][i]);
else ch[x][i]=ch[fa[x]][i];
}
}
void fapp(char*s){
int n=strlen(s+1),p=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
mk[p=ch[p][s[i]-'a'+1]]++;
}
}m;
int n;
char s[T];
vector<int> g[N];
void dfs(int x){
for(auto to:g[x]) dfs(to),m.mk[x]+=m.mk[to];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s+1),m.insert(s,i);
m.build(),scanf("%s",s+1),m.fapp(s);
for(int i=2;i<=m.cnt;i++) g[m.fa[i]].push_back(i);
dfs(1);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",m.mk[m.en[i]]);
return 0;
}
祝大家学习愉快！