MATLAB求解非齐次线性方程组

根据线性代数中求解方程组的基本知识，首先应判断系数矩阵的秩是否和增广矩阵的秩相等，若不等，则无解；若有解，根据秩和未知量个数的关系，判断是唯一解还是无穷多解；若为无穷多解，其通解为齐次方程组的通解加非齐次方程组的特解。

求非齐次线性方程组Ax=b的特解，可直接使用命令A，求解齐次线性方程组的通解，可以使用函数null或rref来实现。

命令	含义
B = null(A,'r')	求系数矩阵为A的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，结果为有理数，B的列向量即基础解系的列向量
Z = null(A)	求出Ax=0的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在Z中
C = rref(A)	求出矩阵A的行最简形矩阵（reduced row echelon form）

function [S_H, S_P] = solveLS(A,b)
% 输入参数A：系数矩阵
% 输入参数b：Ax=b的常数项列向量b
% S_H：齐次线性方程组的基础解系
% S_P：非齐次线性方程组的特解
if size(A,1) ~= length(b)   %size(A,1)求矩阵的行数
    error('输入数据错误，请重新输入！');
    return;
else
    B = [A,b];  %增广矩阵
    rank_A = rank(A);   %求系数矩阵的秩
    rank_B = rank(B);   %求增广矩阵的秩
    if rank_A ~= rank_B %无解情况
        disp('线性方程组无解！');
        S_H = [];
        S_P = [];
    else if rank_B == size(A,2) %若增广矩阵的秩 = 未知量个数
            %size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)
            disp('线性方程组有唯一解！');
            S_P = A;  %求唯一解
            S_H = [];
        else
            disp('线性方程组有无穷解！');
            S_H = null(A,'r');%求出齐次方程组的基础解系
            S_P = A;  %求非齐次方程组的特解
        end
    end
end

例 使用Matlab求解方程组

⎧⎩⎨x1+2x2−2x3+3x4=22x1+4x2−3x3+4x4=55x1+10x2−8x3+11x4=12

A=[1 2 -2 3; 2 4 -3 4; 5 10 -8 11];
b=[2 5 12]';format rat;
[S_H, S_P]=solveLS(A,b)

运行结果

线性方程组有无穷解！

S_H =

      -2              1       
       1              0       
       0              2       
       0              1       


S_P =

       0       
       7/4     
       0       
      -1/2     

该线性方程组有无穷多解，通解为
x=k1⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟+k2⎛⎝⎜⎜⎜1021⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜07/40−1/2⎞⎠⎟⎟⎟,k1,k2∈R