无向加权图
1.生成树(minimum spanning trees)
图的生成树是它一棵含有所有顶点的无环联通子图
最小生成树:生成树中权值和最小的(所有边的权值之和)
Prim算法、Kruskal算法就是实现最小生成树的算法
- 应用前提:权值各不相同的连通子图(权值相同,最小生成树不唯一)
2.Prim算法
算法描述:
Prim算法是一种"加点法":
算法步骤:
1.定义图中所有顶点集合(V),从顶点(s)开始；初始化生成树顶点集合(u={s}),(v=V-u)
2.遍历结点({u,v})，选择一条权重最小的边，加入到生成树中。(v)也进入集合(u)中
3.循环步骤2，直至有(n-1)条边，或者所有顶点都在最小生成树中。
算法实现
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INFINITE 0xFFFFFFFF
#define VertexData unsigned int // 图顶点数据类型
#define UNIT unsigned int
#define VertexCounts 6 // 图顶点个数
char vextex[]={'A','B','C','D','E','F'};
struct node // prim算法中的边一直更新，最小代价边需要一直更新
{
VertexData data;
unsigned int lowestcost;
}closedge[VertexCounts];
typedef struct
{
VertexData u;
VertexData v;
unsigned int cost;
}Arc; // 图中结点-边信息
void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][VertexCounts]) // 邻接矩阵表示法
{
for(int i=0;i<VertexCounts;i++)
for(int j=0;j<VertexCounts;j++)
{
adjMat[i][j]=INFINITE; // 矩阵元素的初始化
}
adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5;
adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3;
adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5;
adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4;
adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2;
adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6;
adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6;
}
int Minmum(struct node* closedge) // 找到最小代价边
{
unsigned int min=INFINITE;
int index=-1; // 保存最小代价边的顶点下标
for(int i=0;i<VertexCounts;++i)
{
if(closedge[i].lowestcost<min && closedge[i].lowestcost!=0)
{
min=closedge[i].lowestcost;
index=i;
}
}
return index;
}
void MiniSpanTree_Prim(unsigned int adjMat[][VertexCounts],VertexData s)
{
for(i=0;i<VertexCounts;++i) // 顶点最小边的初始化
{
closedge[i].lowestcost=INFINITE;
}
closedge[s].data=s;
closedge[s].lowestcost=0;
for(int i=0;i<VertexCounts;++i)
{
if(i!=s)
{
closedge[i].data=s;
closedge[i].lowestcost=adjMat[s][i];
}
}
for(int e=1;e<VertexCounts-1;e++) // 满足n-1边时候结束循环
{
int k=Minmum(closedge); // 选择最小代价边
cout<<vertex[closedge[k].data]<<"--"<<vertex[k]<<endl;
closedge[k].lowestcost=0; // 代价置为0
for(int i=0;i<VertexCounts;i++) // 更新v中的代价信息
{
if(adjMat[k][i]<closedge[i].lowestcost)
{
closedge[i].data=k;
closedge[i].lowestcost=adjMat[k][i];
}
}
}
}
int main()
{
unsigned int adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };
AdjMatrix(adjMat); //邻接矩阵
cout << "Prim :" << endl;
MiniSpanTree_Prim(adjMat,0); //Prim算法，从顶点0开始.
return 0;
}
3.Kruskal算法
算法描述:
Kruskal算法是一种"加边法":
算法步骤:
1.将图中所有的边按权重值进行排序
2.图中n各顶点都是相互独立的
3.权值由小到大选择边，两个顶点应属于两颗不同的树，这样生成最小生成树的一条边。两颗树合并成一颗树。
4.循环步骤3，直至有n-1条边，或者所有顶点都在最小生成树中。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INFINITE 0xFFFFFFFF
#define VertexData unsigned int // 图顶点数据类型
#define UNIT unsigned int
#define VertexCounts 6 // 图顶点个数
char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };
typedef struct
{
VertexData u;
VertexData v;
unsigned int cost; // 边的代价
}Arc; // 原始图的边信息
void ReadArc(unsigned int adjMat[][VertexCounts],vector<Arc> &VertexArc) //保存图的边代价信息
{
Arc* temp=NULL;
for(unsigned int i=0;i<VertexCounts;i++)
{
for(unsigned int j=0;j<VertexCounts;j++)
{
if(adjMat[i][j]!=INFINITE)
{
temp=new Arc;
temp->u=i;
temp->v=j;
temp->cost=adjMat[i][j];
VertexArc.push_back(*temp);
}
}
}
}
bool FindTree(VertexData u, VertexData v,vector<vector<VertexData> > &Tree)
{
unsigned int index_u = INFINITE;
unsigned int index_v = INFINITE;
for (unsigned int i = 0; i < Tree.size();i++) //检查u,v分别属于哪颗树
{
if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), u) != Tree[i].end())
index_u = i;
if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), v) != Tree[i].end())
index_v = i;
}
if (index_u != index_v) //u,v不在一颗树上，合并两颗树
{
for (unsigned int i = 0; i < Tree[index_v].size();i++)
{
Tree[index_u].push_back(Tree[index_v][i]);
}
Tree[index_v].clear();
return true;
}
return false;
}
bool compare(Arc A, Arc B) // 比较权值的大小
{
return A.cost < B.cost ? true : false;
}
void MinSpanTree_Kruskal(unsigned int adjMat[][VertexCounts])
{
vector<Arc> VertexArc;
ReadArc(adjMat,VertexArc); // 读取边信息
sort(VertexArc.begin(),VertexArc.end(),compare); // 边从小到大排列
vetor<vector<VertexData>> Tree(VertexCounts); // 6颗相互独立的树
for(unsigned int i=0;<VertexCounts;i++)
{
Tree[i].push_back(i); // 每棵树信息的获取
}
for(unsigned int i=0;i<VertexArc.size();i++)
{
VertexData u=VertexArc[i].u;
VertexData v=VertexArc[i].v;
if(FindTree(u,v,Tree)) // 检查两个顶点是否在一颗树内
{
cout<<vertex[u]<<"--"<<vertex[v]<<endl;
}
}
}
int main()
{
unsigned int adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };
cout << "-------------" << endl << "Kruskal:" << endl;
MiniSpanTree_Kruskal(adjMat);//Kruskal算法
return 0;
}
上面两个算法都是对于无向有权图
在有向加权图中，一般解决最短路径问题
4.Dijkstra算法
算法描述
设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤:
-
1.初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
-
2.从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
-
3.更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
-
4.重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。 此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步：将顶点C加入到S中。 上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：将顶点E加入到S中。上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：将顶点F加入到S中。 此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：将顶点G加入到S中。 此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：将顶点B加入到S中。 此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：将顶点A加入到S中。 此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
算法实现
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
/*
本程序是使用Dijkstra算法实现求解最短路径的问题
采用的邻接矩阵来存储图
*/
//记录起点到每个顶点的最短路径的信息
struct Dis {
string path;
int value;
bool visit;
Dis() {
visit = false;
value = 0;
path = "";
}
};
class Graph_DG {
private:
int vexnum; //图的顶点个数
int edge; //图的边数
int **arc; //邻接矩阵
Dis * dis; //记录各个顶点最短路径的信息
public:
//构造函数
Graph_DG(int vexnum, int edge);
//析构函数
~Graph_DG();
// 判断我们每次输入的的边的信息是否合法
//顶点从1开始编号
bool check_edge_value(int start, int end, int weight);
//创建图
void createGraph();
//打印邻接矩阵
void print();
//求最短路径
void Dijkstra(int begin);
//打印最短路径
void print_path(int);
};
//构造函数
Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
//初始化顶点数和边数
this->vexnum = vexnum;
this->edge = edge;
//为邻接矩阵开辟空间和赋初值
arc = new int*[this->vexnum];
dis = new Dis[this->vexnum];
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
arc[i] = new int[this->vexnum];
for (int k = 0; k < this->vexnum; k++) {
//邻接矩阵初始化为无穷大
arc[i][k] = INT_MAX;
}
}
}
//析构函数
Graph_DG::~Graph_DG() {
delete[] dis;
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
delete this->arc[i];
}
delete arc;
}
// 判断我们每次输入的的边的信息是否合法
//顶点从1开始编号
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end, int weight) {
if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {
return false;
}
return true;
}
void Graph_DG::createGraph() {
cout << "请输入每条边的起点和终点（顶点编号从1开始）以及其权重" << endl;
int start;
int end;
int weight;
int count = 0;
while (count != this->edge) {
cin >> start >> end >> weight;
//首先判断边的信息是否合法
while (!this->check_edge_value(start, end, weight)) {
cout << "输入的边的信息不合法，请重新输入" << endl;
cin >> start >> end >> weight;
}
//对邻接矩阵对应上的点赋值
arc[start - 1][end - 1] = weight;
//无向图添加上这行代码
//arc[end - 1][start - 1] = weight;
++count;
}
}
void Graph_DG::print() {
cout << "图的邻接矩阵为：" << endl;
int count_row = 0; //打印行的标签
int count_col = 0; //打印列的标签
//开始打印
while (count_row != this->vexnum) {
count_col = 0;
while (count_col != this->vexnum) {
if (arc[count_row][count_col] == INT_MAX)
cout << "∞" << " ";
else
cout << arc[count_row][count_col] << " ";
++count_col;
}
cout << endl;
++count_row;
}
}
void Graph_DG::Dijkstra(int begin){
//首先初始化我们的dis数组
int i;
for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
//设置当前的路径
dis[i].path = "v" + to_string(begin) + "-->v" + to_string(i + 1);
dis[i].value = arc[begin - 1][i];
}
//设置起点的到起点的路径为0
dis[begin - 1].value = 0;
dis[begin - 1].visit = true;
int count = 1;
//计算剩余的顶点的最短路径（剩余this->vexnum-1个顶点）
while (count != this->vexnum) {
//temp用于保存当前dis数组中最小的那个下标
//min记录的当前的最小值
int temp=0;
int min = INT_MAX;
for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
if (!dis[i].visit && dis[i].value<min) {
min = dis[i].value;
temp = i;
}
}
//cout << temp + 1 << " "<<min << endl;
//把temp对应的顶点加入到已经找到的最短路径的集合中
dis[temp].visit = true;
++count;
for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
//注意这里的条件arc[temp][i]!=INT_MAX必须加，不然会出现溢出，从而造成程序异常
if (!dis[i].visit && arc[temp][i]!=INT_MAX && (dis[temp].value + arc[temp][i]) < dis[i].value) {
//如果新得到的边可以影响其他为访问的顶点，那就就更新它的最短路径和长度
dis[i].value = dis[temp].value + arc[temp][i];
dis[i].path = dis[temp].path + "-->v" + to_string(i + 1);
}
}
}
}
void Graph_DG::print_path(int begin) {
string str;
str = "v" + to_string(begin);
cout << "以"<<str<<"为起点的图的最短路径为：" << endl;
for (int i = 0; i != this->vexnum; i++) {
if(dis[i].value!=INT_MAX)
cout << dis[i].path << "=" << dis[i].value << endl;
else {
cout << dis[i].path << "是无最短路径的" << endl;
}
}
}
//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：
//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
return false;
return true;
}
int main() {
int vexnum; int edge;
cout << "输入图的顶点个数和边的条数：" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
while (!check(vexnum, edge)) {
cout << "输入的数值不合法，请重新输入" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
}
Graph_DG graph(vexnum, edge);
graph.createGraph();
graph.print();
graph.Dijkstra(1);
graph.print_path(1);
system("pause");
return 0;
}
/*
输入：
6 8
1 3 10
1 5 30
1 6 100
2 3 5
3 4 50
4 6 10
5 6 60
5 4 20
*/