凸包总结

有关凸包的知识其实并不难理解，稍微看看便可以懂得凸包的流程与原理。

1.什么是凸包?

    在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。(来源于百度百科)

    通俗来说，凸包便是可以将平面内所有点都包括进去的凸多边形。放张图理解一下，图中红色边框框起来的便是一个凸包。

2.怎么实现？

   凸包的实现其实十分简单。先找出平面中最下面的点(即y坐标最下的点)u，这个点肯定在凸包上。再以这个点为极点进行极角排序。什么是极角排序呢，极角排序就是以点u为坐标原点，根据所有点与点u连成的直线与x轴正方向的夹角从小到大进行排序。极角排序后，将点u与夹角最小的点加入栈中，之后依次扫描每一个点，若这个点所处的位置在栈顶点的左边，则可以加入栈中，若在右边，就弹出栈首，如此扫描，最后凸包上的点就是栈中的元素。怎么判断扫描到的点在左边还是右边呢？这便要用到叉积的知识。设a(x1,y1)，b(x2,y2)，c(x3,y3)，那么如果x1*y2+x2*y3+x3*y1>x1*y3+x2*y1+x3*y2，就可以说明点c在直线ab的右边(直线方向a->b)。

模板题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2742代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rint register int
using namespace std;

struct node{
    double x,y;
}a[10001];
int n,p,st[10001],top;
double ans,miny=2e9,minx=2e9;

int cmp(node b,node c) { //极角排序 
    if (fabs((b.y-miny)*(c.x-minx)-(c.y-miny)*(b.x-minx))<=1e-8) return fabs(minx-b.x)<fabs(minx-c.x);
    return (b.y-miny)*(c.x-minx)<(c.y-miny)*(b.x-minx);
}

int check(int b,int c,int d) { //叉积判断 
    return ((a[b].x*a[c].y)+(a[c].x*a[d].y)+(a[d].x*a[b].y)-(a[b].x*a[d].y)-(a[c].x*a[b].y)-(a[d].x*a[c].y))>0;
}

double dist(double x1,double y1,double x2,double y2) { //计算两点间的欧几里得距离 
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}

int main() {
    rint i;
    scanf("%d",&n);
      for (i=1;i<=n;++i) {
          scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y);
            if (a[i].y<miny) { //寻找最下方的点 
                  miny=a[i].y; minx=a[i].x;
              }
      }
    sort(a+1,a+1+n,cmp); //极角排序 
    st[1]=1; st[2]=2; top=2; //将两个点加入栈中 
      for (i=3;i<=n;++i) { //扫描 
          while (!check(st[top-1],st[top],i)) top--;
          st[++top]=i;
      }
      for (i=2;i<=top;++i) //计算答案 
        ans+=dist(a[st[i-1]].x,a[st[i-1]].y,a[st[i]].x,a[st[i]].y);
    ans+=dist(a[st[top]].x,a[st[top]].y,a[1].x,a[st[1]].y);
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}