欧拉函数

欧拉函数

定义

欧拉函数的定义为

Euler's totient function counts the positive integers up to a given integer n that are relatively prime to n.

即不超过(n)的，与(n)互质的，正整数的个数。

所以根据定义，(phi(1)=1)。

计算公式

[varphi(n)=n prod_{p | n}left(1-frac{1}{p} ight) ]

引理及其证明

[egin{array}{l}{ ext { If } p ext { is prime and } k geq 1 ext { , then }} \ {qquad varphileft(p^{k} ight)=p^{k-1}(p-1)=p^{k}left(1-frac{1}{p} ight)}end{array} ]

证明：

因为(p)为质数，所以(gcd(p^k,m))的取值为(1, p, p^{2}, ldots, p^{k})。而(gcd(p^k,m))不互质的唯一情况是(m)为(p)的倍数。

小于等于(p^k)的(p)的倍数有(p, 2 p, 3 p, ldots, p^{k-1} p=p^{k})，一共(p^{k-1})个。

所以小于等于(p^k)的，与(p^k)互质的数就有(p^k-p^{k-1})个。

计算公式的证明

(n=p_{1}^{k_{1}} cdots p_{r}^{k_{r}})

[egin{aligned} varphi(n) &=varphileft(p_{1}^{k_{1}} ight) varphileft(p_{2}^{k_{2}} ight) cdots varphileft(p_{r}^{k_{r}} ight) \ &=p_{1}^{k_{1}}left(1-frac{1}{p_{1}} ight) p_{2}^{k_{2}}left(1-frac{1}{p_{2}} ight) cdots p_{r}^{k_{r}}left(1-frac{1}{p_{r}} ight) \ &=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} cdots p_{r}^{k_{r}}left(1-frac{1}{p_{1}} ight)left(1-frac{1}{p_{2}} ight) cdotsleft(1-frac{1}{p_{r}} ight) \ &=nleft(1-frac{1}{p_{1}} ight)left(1-frac{1}{p_{2}} ight) cdotsleft(1-frac{1}{p_{r}} ight) end{aligned} ]

筛法

(sqrt n)筛

就是质因子分解之后根据计算公式计算答案。

inline int getphi(int x) {
    int tmp = sqrt(x), res = x;
    for (int i = 1; i <= tmp; i++) {
        if (x % i == 0) {
            res -= res / i;
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    return x > 1 ? res - res / x : res;
}

埃氏筛

思路类似，如果一个(i)是合数就不管，如果是质数枚举其倍数，然后按照计算公式给这个数添加上这个质因子带来的贡献。

inline int getphi(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(phi[i])continue;//和数
        for(int j=i;j<=x;j+=i){
            if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
    return 0;
}

线性筛

线性筛的本质是每个数只会被它的最小质因子筛。

那么对于([2,n])中的每个数(i)，我们都枚举它们的最小质因子(p)。那么就要保证(p)小于等于(i)的最小质因子，才能保证乘上(i imes p)的最小质因子为(p)。

对于(p)小于(i)的最小质因子的情况，则(i)没有包含质因子(p)，那我们利用积性函数性质即可。

对于(p)等于(i)的最小质因子的情况，则(i)包含质因子(p)，那我们根据欧拉函数计算公式可得(phi(i imes p)=phi(i) imes p)

void get_phi() {
    phi[1]=1
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!pri[i])phi[i]=i-1,pri[++num]=i;
        for(int j=1;j<=num&&i*pri[j]<=n;j++) {
            pri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
}