数学基础
筛法
埃氏筛
复杂度(O(nloglog n))
[过水已隐藏]
线性筛
bool flag[maxn];
int prime[maxn];
void init() {
flag[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++) {
if(!flag[i])prime[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++) {
flag[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
线性筛可以用于所有的积性函数。
真正的精华在于if(i%prime[j]==0)break;这句话
线性筛每一个元素只能被其最小质因子筛一次。可以证明，如果i%prime[j]==0，那么([prime[j+1],prime[tot]])都不是([prime[j+1]*i,prime[tot]*i])的最小质因子。那么就直接``break```。
证明：
当i%prime[j]==0，那么(i)可以写成(prime[j]*k)。所以对于下一个被筛的数(prime[j+1]*i)，可以把它化成(prime[j]*k*prime[j+1])。
但请注意，根据线性筛的定义，每一个元素只能被其最小质因子筛一次。所以(prime[j+1]*i)这个数不应该被(prime[j+1])筛，而是应该被(prime[j])筛。后面的质数也同理。
最大公约数
更相减损
(gcd(a,b)=gcd(a-b,b))
证明：咕咕咕
欧几里得
只需要在更相减损的基础上把减法优化成取模即可：
(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b))
裴蜀定理和exgcd（扩展欧几里得）
首先，有个神奇的东西叫裴蜀等式/裴蜀定理。
这里有一个不定方程：(ax+by=m)。
裴蜀定理就是如果上面这个不定方程有解当且仅当(gcd(a,b)|m)。且当这个不定方程有解时，一定有无数多组解。
证明：（咕咕咕）
对于方程：(ax+by=gcd(a,b))，我们可以用exgcd算法找到这个式子的一组解，然后就能就能推出(ax+by=m)的解。
而(ax+by=gcd(a,b))可以通过递归构造解来解决：
特别的，当g欧几里得算法递归到最低一层时，是这个样子的：(gcd(c,d),d=0)
那么对于这种情况我们就可直接得出当前这一层对应的不定方程(cx''+dy''=gcd(c,d)=c)的解：(x''=1,y''=0)然后就可以倒推出上一层的解。
当我们知道一组特解(x0,y0)之后，我们可以推出这个方程的通解：(x=x0+frac {b}{d}*k,y=y0-frac {a}{d}*k)其中(d=gcd(a,b))。 至于这个式子是怎么来的，我们可以把式子变成(ax+by+frac{ab}{d}-frac{ab}{d}=d)然后提一下公因式就好了。另外，为什么ab要除d而不是其他数字是因为(d=gcd(a,b))。
至此，我们只求出了(ax+by=gcd(a,b))的通解。
我们只需要在两边乘上(frac {m}{gcd(a,b)})即可，因为这里不变的是系数（x0,y0均乘上这个式子，(a)和(b)不变），所以依旧可以用前面的方法求出特解。
如果遇到求出最小的正整数(x)，我们可以设$p=frac{b}{d} $，而我们需要的最小正整数x就是:
((x0mod p+p)mod p)
代码(引自KSKUN——欧几里得算法和扩展欧几里得算法)：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x = 1; // 设置b=0时的特殊解
y = 0;
return a;
}
int ans = exgcd(b, a % b, x, y);
int t = x; // 将x2, y2换算成x1, y1
x = y;
y = t - a / b * y;
return ans;
}
线性同余方程
形如(ax equiv cpmod b)的式子我们称之为一元线性同余方程。
至于这个式子的求解，我们可以先把它化成(ax+by=c)的形式，其中(y<0)。就可以按照不定方程的做法做了。
欧拉函数
欧拉函数的性质
性质1-欧拉定理和扩展欧拉定理
欧拉定理：
当(gcd(a,p)=1)时，
扩展欧拉定理：
性质2-积性函数
( ext{when gcd(a,b)=1},phi(a) imes phi(b)=phi (ab))
性质3-欧拉函数特有性质
-
( ext {when }pmid n,phi(np)=phi(n)*p)
证明：
令(prod _{p_imid np, space p_i ext { is prime}} (1-frac{1}{p_i})=A)
(phi(np)=np*A,phi (n)=n*A)
显然，(phi(np)=phi(n)*p)
得证
-
当(p)为(n)的一个质因数，(if p^2|n then varphi(n)=varphi(frac{n}{p})*p else varphi(n)=varphi(frac{n}{p})*varphi(p))
由上一个性质和积性函数性质，很容易可以证明
欧拉函数的求解
咕咕咕
先贴个(O(sqrt n))的求欧拉函数板子吧。
代码：
inline int getphi(int x) {
int tmp = sqrt(x), res = x;
for (int i = 1; i <= tmp; i++) {
if (x % i == 0) {
res -= res / i;
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
return x > 1 ? res - res / x : res;
}
当然，我们也可以用埃氏筛的思路来筛([1,n])的欧拉函数。
代码：
inline int getphi(int x){
for(int i=2;i<=x;i++){
if(phi[i])continue;
for(int j=i;j<=x;j+=i){
if(!phi[j])phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
return 0;
}
等比数列
求和
(sum _{i=1}^n a_i)称为等比级数，记为(S_i)。
求和公式(S_n=frac{a_1q^n-a_1}{q-1})其中(q=frac{a_n}{a_{n-1}})。
证明：咕咕咕
逆元(inverse element)
组合数学
排列与组合基础
排列数
从 (n) 个不同元素中，任取 (m) （ (mleq n) ， (m) 与 (n) 均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个排列；从 (n) 个不同元素中取出 (m) ( (mleq n) ) 个元素的所有排列的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的排列数，用符号 (mathrm A_n^m) （或者是 (mathrm P_n^m) ）表示。
排列的计算公式如下：
(n!) 代表 (n) 的阶乘，即 (6! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes 6) 。
公式可以这样理解： (n) 个人选 (m) 个来排队 ( (m le n) )。第一个位置可以选 (n) 个，第二位置可以选 (n-1) 个，以此类推，第 (m) 个（最后一个）可以选 (n-m+1) 个，得：
全排列： (n) 个人全部来排队，队长为 (n) 。第一个位置可以选 (n) 个，第二位置可以选 (n-1) 个，以此类推得：
全排列是排列数的一个特殊情况。
组合数
从 (n) 个不同元素中，任取 (m) ( (mleq n) ) 个元素组成一个集合，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个组合；从 (n) 个不同元素中取出 (m) ( (mleq n) ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的组合数。用符号 (mathrm C_n^m) 来表示。
组合数计算公式
如何理解上述公式？我们考虑 (n) 个人 (m) ( (m le n) ) 个出来，不排队，不在乎顺序 (C_n^m) 。如果在乎排列那么就是 (A_n^m) ，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的 (m) 个人，他们还要“全排”得 (A_n^m) ，所以得：
组合数也常用 (displaystyle inom{n}{m}) 表示，读作「 (n) 选 (m) 」，即 (displaystyle mathrm C_n^m=inom{n}{m}) 。实际上，后者表意清晰明了，美观简洁，因此现在数学界普遍采用 (displaystyle inom{n}{m}) 的记号而非 (mathrm C_n^m) 。
组合数也被称为「二项式系数」，下文二项式定理将会阐述其中的联系。
特别地，规定当 (m>n) 时， (mathrm A_n^m=mathrm C_n^m=0) 。
插板法
插板法一般用于求解将(n)个相同球放入(r)个不相同盒子的方案数。
例子
现在有10个球，要放进3个盒子里
●●●●●●●●●●
隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分
●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......
如此类推，10个球放进3个盒子的方法总数为({inom {10-1}{3-1}}={inom {9}{2}}=36)
n个球放进k个盒子的方法总数为({inom {n-1}{k-1}})
问题等价于求(x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n)的可行解数，其中(x_{1},x_{2},...,x_{k})为正整数。
空盒子推广
现在有10个球，要放进3个盒子里，并允许空盒子。考虑10+3个球的情况：
●|●|●●●●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●●●●、●|●●●●|●●●●●●●●、●|●●●●●|●●●●●●●、......
每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：
||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......
n个球放进k个盒子的方法总数（允许空盒子），等同于n+k个球放进k个盒子的方法总数（不允许空盒子），即({inom {n+k-1}{k-1}})
问题等价于求(x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n)的可行解数，其中(x_{1},x_{2},...,x_{k})为非负整数。
({inom {n+k-1}{k-1}})也是((a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n})展开式的项数(sum _{{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}}1)
魔改插板法
如果我们需要求解将(n)个不相同球放入(r)个相同盒子的方案数。
费马平方和定理
费马平方和定理的表述是：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。证明
底和顶
我们可以用这个这个技巧完成向下取整/向上取整的转换：
一些trick
- ([1,n!])中有多少个数能被(p)整除，可以直接用(sum _{i=1} left lfloor frac{n}{p^i} ight floor)来求解。
- (sum _{i=1}^n i^2=frac {n*(n+1)*(2n+1)/6}{6})
- ( ext{when } p ext{ is prime},a^b mod p=a^{b mod p-1}mod p)（使用欧拉定理推导）
- 如果要求解(left lfloor frac{a}{d} ight floor)其中d每次变化1，那么显然可以数论分块，当(l=d)，那么(r=frac{a}{frac{a}{d}})。可以证明一共有(sqrt {n})种取值。
矩阵乘法
对于两个矩阵(A)和(B)相乘，得到的矩阵(C)的列数与(A)相等，行数与(B)相等。同时要求(A)的行数和(B)的列数相等。
如果令(A的行数=B的列数=n)那么(C_{i,j}=sum_{k=1}^{n} A_{k,j}*B_{i,k})。
卡特兰数
卡特兰数我在另外一篇博客有比较详细的讲解，这里就只放最基本的通项公式。
卡特兰数有两个通项公式，第一个是这样的：
第二个是这样的：
斯特林数
第一类斯特林数（Stirling Number）
设有多项式 (x(x-1)(x-2) cdots (x-n+1)) ，它的展开式形如 (s_nx^n - s_{n-1}x^{n-1}+s_{n-2}x^{n-2}-cdots) 。
不考虑各项系数的符号，将 (x^r) 的系数的绝对值记做 (s(n, r)) ，称为第一类 Stirling 数。
(s(n, r)) 也是把 (n) 个不同的球排成 (r) 个非空循环排列的方法数。
关于第一类斯特林数的性质可以阅读 Stirling Number of the First Kind 。
递推形式
考虑最后一个球，它可以单独构成一个非空循环排列，也可以插入到前面的某一个球的一侧。
若单独放，则有 (s(n-1,r-1)) 种放法；若放在某个球的一侧，则有 ((n-1)s(n-1,r)) 种放法。
第二类斯特林数（Stirling Number）
把 (n) 个不同的球放到 (r) 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 (S(n, r)) ，称为第二类 Stirling 数。
关于第二类斯特林数的性质可以阅读 Stirling Number of the Second Kind 。
递推形式
考虑最后一个球，若它单独放一个盒子，有 (S(n-1,r-1)) 种放法；若是和前面的某一个球放在同一个盒子里，则有 (r S(n-1,r)) 种放法。
参考资料
