给出一个长度为 $n$ 的序列,支持 $m$ 次操作,操作有三种:区间加、区间开根、区间求和。
$n,m,a_ile 100000$ 。
题解
线段树+均摊分析
对于原来的两个数 $a$ 和 $b$ ( $a>b$ ) ,开根后变成 $sqrt a$ 和 $sqrt b$ ,它们的差从 $a-b$ 变成了 $sqrt a-sqrt b$ 。
又有 $(sqrt a-sqrt b)(sqrt a+sqrt b)=a-b$ ,因此开方后的差小于原来差的开方。
而当区间差为 $0$ 或 $a=x^2,b=x^2-1$ 的 $1$ 时,区间开根就变成了区间减。
因此一个区间开根 $loglog(Max-Min)$ 次后就不需要暴力开根,直接区间减即可。
定义线段树节点势能为 $loglog(Max-Min)$ ,那么每次对 $[l,r]$ 开根就是将所有 $lle x,yle r$ ,且势能不为 $0$ 的节点 $[x,y]$ 的势能减 $1$ ,代价为势能减少总量。
分析区间加操作:只会修改到经过的节点的势能,影响 $log$ 个节点,将这些点的势能恢复为 $loglog(Max-Min)$ 。
因此总的时间复杂度就是总势能量 $O((n+mlog n)loglog a)$ 。
#include <cmath> #include <cstdio> #include <algorithm> #define N 100010 #define lson l , mid , x << 1 #define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1 using namespace std; typedef long long ll; ll sum[N << 2] , mx[N << 2] , mn[N << 2] , tag[N << 2]; inline void add(ll v , int l , int r , int x) { sum[x] += v * (r - l + 1) , mx[x] += v , mn[x] += v , tag[x] += v; } inline void pushup(int x) { sum[x] = sum[x << 1] + sum[x << 1 | 1]; mx[x] = max(mx[x << 1] , mx[x << 1 | 1]); mn[x] = min(mn[x << 1] , mn[x << 1 | 1]); } inline void pushdown(int l , int r , int x) { if(tag[x]) { int mid = (l + r) >> 1; add(tag[x] , lson) , add(tag[x] , rson); tag[x] = 0; } } inline void build(int l , int r , int x) { if(l == r) { scanf("%lld" , &sum[x]) , mx[x] = mn[x] = sum[x]; return; } int mid = (l + r) >> 1; build(lson) , build(rson); pushup(x); } inline void update(int b , int e , ll a , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) { add(a , l , r , x); return; } pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; if(b <= mid) update(b , e , a , lson); if(e > mid) update(b , e , a , rson); pushup(x); } inline void change(int b , int e , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e && mx[x] - (ll)sqrt(mx[x]) == mn[x] - (ll)sqrt(mn[x])) { add((ll)sqrt(mx[x]) - mx[x] , l , r , x); return; } pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; if(b <= mid) change(b , e , lson); if(e > mid) change(b , e , rson); pushup(x); } inline ll query(int b , int e , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) return sum[x]; pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; ll ans = 0; if(b <= mid) ans += query(b , e , lson); if(e > mid) ans += query(b , e , rson); return ans; } int main() { int n , m , opt , x , y; ll z; scanf("%d%d" , &n , &m); build(1 , n , 1); while(m -- ) { scanf("%d%d%d" , &opt , &x , &y); if(opt == 1) scanf("%lld" , &z) , update(x , y , z , 1 , n , 1); else if(opt == 2) change(x , y , 1 , n , 1); else printf("%lld " , query(x , y , 1 , n , 1)); } return 0; }