• 【bzoj3697】采药人的路径 树的点分治


    题目描述

    给出一棵 $n$ 个点的树,每条边的边权为1或0。求有多少点对 $(i,j)$ ,使得:$i$ 到 $j$ 的简单路径上存在点 $k$ (异于 $i$ 和 $j$ ),使得 $i$ 到 $k$ 的简单路径上0和1数目相等,$j$ 到 $k$ 的简单路径上0和1数目也相等。

    输入

    第1行包含一个整数N。
    接下来N-1行,每行包含三个整数a_i、b_i和t_i,表示这条路上药材的类型。

    输出

    输出符合采药人要求的路径数目。

    样例输入

    7
    1 2 0
    3 1 1
    2 4 0
    5 2 0
    6 3 1
    5 7 1

    样例输出

    1


    题解

    树的点分治

    求满足条件的路径数目,可以考虑点分治,每次求过根节点的方案数,再递归处理子树。

    设 $f[x][0/1]$ 表示 $1$ 的数目比 $0$ 的数目多 $x$ ,且 否/是 有满足条件的 $k$ 节点的点数。
    设 $g[x][0/1]$ 表示 $0$ 的数目比 $1$ 的数目多 $x$ ,且 否/是 有满足条件的 $k$ 节点的点数。

    然后相应的答案贡献就是 $f[x][0]·g[x][1]+f[x][1]·g[x][0]+f[x][1]·g[x][1]$ 。

    注意特殊处理数目相等的情况,以及分治中心作为路径端点的情况。

    dfs整棵子树,求出答案,减去两端在同一子树内的答案,递归子树。

    时间复杂度 $O(nlog n)$ 

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define N 100010
    using namespace std;
    int head[N] , to[N << 1] , val[N << 1] , next[N << 1] , cnt , vis[N] , si[N] , ms[N] , sum , root , md;
    long long f[N][2] , g[N][2] , ans;
    inline void add(int x , int y , int z)
    {
    	to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
    }
    void getroot(int x , int fa)
    {
    	int i;
    	si[x] = 1 , ms[x] = 0;
    	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
    			getroot(to[i] , x) , si[x] += si[to[i]] , ms[x] = max(ms[x] , si[to[i]]);
    	ms[x] = max(ms[x] , sum - si[x]);
    	if(ms[x] < ms[root]) root = x;
    }
    void calc(int x , int fa , int now , int cnt)
    {
    	int i;
    	if(now == 0)
    	{
    		if(cnt >= 2) ans ++ ;
    		cnt ++ ;
    	}
    	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
    			calc(to[i] , x , now + 2 * val[i] - 1 , cnt);
    }
    void dfs(int x , int fa , int now , int l , int r)
    {
    	int i;
    	if(now >= l && now <= r)
    	{
    		if(now >= 0) f[now][1] ++ ;
    		else g[-now][1] ++ ;
    	}
    	else
    	{
    		if(now >= 0) f[now][0] ++ ;
    		else g[-now][0] ++ ;
    	}
    	l = min(l , now) , r = max(r , now) , md = max(md , max(-l , r));
    	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
    			dfs(to[i] , x , now + val[i] * 2 - 1 , l , r);
    }
    void solve(int x)
    {
    	int i , j;
    	vis[x] = 1 , md = 0 , calc(x , 0 , 0 , 0);
    	dfs(x , 0 , 0 , 1 , -1) , ans += f[0][1] * (f[0][1] - 1) / 2 , f[0][0] = f[0][1] = 0;
    	for(i = 1 ; i <= md ; i ++ ) ans += f[i][0] * g[i][1] + f[i][1] * g[i][0] + f[i][1] * g[i][1] , f[i][0] = f[i][1] = g[i][0] = g[i][1] = 0;
    	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    	{
    		if(!vis[to[i]])
    		{
    			md = 0 , dfs(to[i] , 0 , 2 * val[i] - 1 , 0 , 0) , ans -= f[0][1] * (f[0][1] - 1) / 2 , f[0][0] = f[0][1] = 0;
    			for(j = 0 ; j <= md ; j ++ ) ans -= f[j][0] * g[j][1] + f[j][1] * g[j][0] + f[j][1] * g[j][1] , f[j][0] = f[j][1] = g[j][0] = g[j][1] = 0;
    			sum = si[to[i]] , root = 0 , getroot(to[i] , 0) , solve(root);
    		}
    	}
    }
    int main()
    {
    	int n , i , x , y , z;
    	scanf("%d" , &n);
    	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y , z) , add(y , x , z);
    	sum = n , root = 0 , ms[0] = n , getroot(1 , 0) , solve(root);
    	printf("%lld
    " , ans);
    	return 0;
    }
    

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/8612602.html
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