题目描述
两人进行 $T$ 轮游戏,给定参数 $F$ ,每轮给出 $N$ 堆石子,先手和后手轮流选择石子数大于等于 $F$ 的一堆,将其分成任意(大于1)堆,使得这些堆中石子数最多的和最少的相差不超过1(即尽量均分)。求先手和后手谁必胜。
输入
输入第一行包含两个正整数T和F,分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行,每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数,表示这N堆石子分别有多少个。
输出
输出一行,包含T个用空格隔开的0或1的数,其中0代表此时小A(后手)会胜利,而1代表小A的对手(先手)会胜利。
样例输入
4 3
1 1
1 2
1 3
1 5
样例输出
0 0 1 1
题解
博弈论+SG定理+数学
显然游戏为多状态组合游戏,考虑使用SG定理求解。
SG定理:定义每种局面的SG函数值为该局面所有子局面SG函数值的mex,多状态组合游戏的SG值为每个状态SG值的异或。SG值为0时先手必败,否则先手必胜。
设 $f[i]$ 表示一堆 $i$ 个石子的SG函数值,当 $i<f$ 时 $f[i]=0$ 。枚举分成的堆数 $j$ ,根据定义有 $f[i]= ext{mex}_{j=2}^{i}f[frac ij] ext{^}f[frac ij] ext{^}... ext{^}f[frac ij] ext{^}f[frac ij+1] ext{^}f[frac ij+1] ext{^}... ext{^}f[frac ij+1]$ 。
其中 $ ext{^}$ 表示异或,$f[frac ij]$ 有 $j-i\%j$ 个,$f[frac ij+1]$ 有 $i\%j$ 个,$\%$ 表示模。
这里出现了 $frac ij$ ,可以使用数学下底分块的方法枚举商,求出 $frac ij$ 相等的一段区间。
由于 $x ext{^}x=0$ ,因此只需要考虑 $j-i\%j$ 和 $i\%j$ 的奇偶性即可。
又因为 $i\%j=i-j·frac ij$ ,因此当 $frac ij$ 为定值时,相同奇偶性的 $j$ 对应的答案相同。
具体来讲 ,$ ext{mex}$ 后面的部分当 $j$ 为偶数时:$i$ 为奇数时为 $f[frac ij] ext{^}f[frac ij+1]$ ,否则为 $0$ ;当 $j$ 为奇数时:$i-j$ 为奇数为 $f[frac ij+1]$ ,否则为 $f[frac ij]$ 。
之后暴力求 $ ext{mex}$ 即可(复杂度是对的)。
最后对于询问,将每堆的SG值异或即可得到最终的SG值。
时间复杂度 $O(nsqrt n)$ 。
bzoj上比较卡常,需要使用时间戳优化来记录每个SG是否作为子状态出现。
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int f[100010] , v[100010]; inline void calc(int n , int c) { int i , t , last; for(i = 2 ; i <= n ; i = last + 1) { t = n / i , last = n / t; if(last / 2 > (i - 1) / 2) { if(n & 1) v[f[t] ^ f[t + 1]] = c; else v[0] = c; } if((last + 1) / 2 > i / 2) { if((n - t) & 1) v[f[t + 1]] = c; else v[f[t]] = c; } } } int main() { int T , c , i , n , x , val; scanf("%d%d" , &T , &c); for(i = c ; i < 100000 ; i ++ ) { calc(i , i); while(v[f[i]] == i) f[i] ++ ; } while(T -- ) { scanf("%d" , &n) , val = 0; for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , val ^= f[x]; printf("%d" , (bool)val); if(T) printf(" "); } return 0; }