• 【bzoj2560】串珠子 状压dp+容斥原理


    题目描述

    有 $n$ 个点,点 $i$ 和点 $j$ 之间可以连 $0sim c_{i,j}$ 条无向边。求连成一张无向连通图的方案数模 $10^9+7$ 。
    两个方案不同,当且仅当:存在点对 $(i,j$ ,使得 $i$ 与 $j$ 之间的边数不同。

    输入

    标准输入。输入第一行包含一个正整数n,表示珠子的个数。接下来n行,每行包含n个非负整数,用空格隔开。这n行中,第i行第j个数为ci,j。

    输出

    标准输出。输出一行一个整数,为连接方案数对1000000007取模的结果。

    样例输入

    3
    0 2 3
    2 0 4
    3 4 0

    样例输出

    50


    题解

    状压dp+容斥原理

    【bzoj3456】城市规划 的前半部分方法类似,用总连边方案数减去不连通方案数得到连通方案数。

    但是在本题中点与点是不同的,因此采用状压dp的方法来解决。

    设 $f_i$ 表示 $i$ 集合的点连成无向连通图的方案数,$g_i$ 表示 $i$ 集合的点连成无向图的方案数。

    预处理出 $g_i$ ,根据定义得 $g_i=prodlimits_{j.kin i,j<k}(c_{j,k}+1)$

    然后求 $f_i$ 。用总方案数 $g_i$ 减去不连通的方案数。枚举 $i$ 集合中编号最小的点($i&(-i)$)所在连通块的集合 $j$ ,减去 $f_jg_{i-j}$ 。

    故状态转移方程为: $f_i=g_i-sumlimits_{jsubsetneqq i,(i&(-i))in j}f_jg_{i-j}$

    最后的答案就是 $f_{2^n-1}$ 。

    时间复杂度 $O(2^n·n^2+3^n)$ 

    #include <cstdio>
    #define mod 1000000007
    typedef long long ll;
    ll c[20][20] , f[65540] , g[65540];
    int main()
    {
        int n , i , j , k;
        scanf("%d" , &n);
        for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
            for(j = 0 ; j < n ; j ++ )
                scanf("%lld" , &c[i][j]);
        for(i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++ )
        {
            g[i] = 1;
            for(j = 0 ; j < n ; j ++ )
                for(k = 0 ; k < j ; k ++ )
                    if(i & (1 << j) && i & (1 << k))
                        g[i] = g[i] * (c[j][k] + 1) % mod;
            f[i] = g[i];
            for(j = i & (i - 1) ; j ; j = i & (j - 1))
                if(j & (i & -i))
                    f[i] = (f[i] - f[j] * g[i ^ j] % mod + mod) % mod;
        }
        printf("%lld
    " , f[(1 << n) - 1]);
        return 0;
    }
    

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/8596108.html
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