题目描述
有 $n$ 个点,点 $i$ 和点 $j$ 之间可以连 $0sim c_{i,j}$ 条无向边。求连成一张无向连通图的方案数模 $10^9+7$ 。
两个方案不同,当且仅当:存在点对 $(i,j$ ,使得 $i$ 与 $j$ 之间的边数不同。
输入
标准输入。输入第一行包含一个正整数n,表示珠子的个数。接下来n行,每行包含n个非负整数,用空格隔开。这n行中,第i行第j个数为ci,j。
输出
标准输出。输出一行一个整数,为连接方案数对1000000007取模的结果。
样例输入
3
0 2 3
2 0 4
3 4 0
样例输出
50
题解
状压dp+容斥原理
和 【bzoj3456】城市规划 的前半部分方法类似,用总连边方案数减去不连通方案数得到连通方案数。
但是在本题中点与点是不同的,因此采用状压dp的方法来解决。
设 $f_i$ 表示 $i$ 集合的点连成无向连通图的方案数,$g_i$ 表示 $i$ 集合的点连成无向图的方案数。
预处理出 $g_i$ ,根据定义得 $g_i=prodlimits_{j.kin i,j<k}(c_{j,k}+1)$ 。
然后求 $f_i$ 。用总方案数 $g_i$ 减去不连通的方案数。枚举 $i$ 集合中编号最小的点($i&(-i)$)所在连通块的集合 $j$ ,减去 $f_jg_{i-j}$ 。
故状态转移方程为: $f_i=g_i-sumlimits_{jsubsetneqq i,(i&(-i))in j}f_jg_{i-j}$ 。
最后的答案就是 $f_{2^n-1}$ 。
时间复杂度 $O(2^n·n^2+3^n)$
#include <cstdio> #define mod 1000000007 typedef long long ll; ll c[20][20] , f[65540] , g[65540]; int main() { int n , i , j , k; scanf("%d" , &n); for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) for(j = 0 ; j < n ; j ++ ) scanf("%lld" , &c[i][j]); for(i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++ ) { g[i] = 1; for(j = 0 ; j < n ; j ++ ) for(k = 0 ; k < j ; k ++ ) if(i & (1 << j) && i & (1 << k)) g[i] = g[i] * (c[j][k] + 1) % mod; f[i] = g[i]; for(j = i & (i - 1) ; j ; j = i & (j - 1)) if(j & (i & -i)) f[i] = (f[i] - f[j] * g[i ^ j] % mod + mod) % mod; } printf("%lld " , f[(1 << n) - 1]); return 0; }