题目描述
求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1).
输入
仅一行一个整数n(<=130000)
输出
仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.
样例输入
3
样例输出
4
题解
容斥原理+NTT+多项式求逆
设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向连通图的数目,$g_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向图的数目。
根据定义得 $g_i=2^{frac{n(n-1}2}$ 。
对于 $f_i$ ,考虑容斥,用 $g_i$ 减去不连通的方案数。枚举不连通图中1号点所在连通块大小 $j$ ,则有:
$$f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}f_jg_{i-j}$$
将组合数展开,得:
$$f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}f_jg_{i-j}$$
两边同时除以 $(i-1)!$ ,整理得:
$$frac{f_i}{(i-1)!}=sumlimits_{j=1}^{i-1}frac{f_j}{(j-1)!}frac{g_{i-j}}{(i-j)!}$$
设:
$$F(x)=sumlimits_{i=1}^{infty}frac{f_i}{(i-1)!} \ G(x)=sumlimits_{i=1}^{infty}frac{g_i}{(i-1)!} \ H(x)=sumlimits_{i=1}^{infty}frac{g_i}{i!}$$
注意到 $F(x)$ 、$H(x)$ 的常数项均为0,因此后面的那个式子相当于 $sumlimits_{j=0}^iF(x)[j]H(x)[i-j]$ ,是一个卷积的形式。
因此有:
$$F(x)=G(x)-F(x) imes H(x)$$
化简得:
$$F(x)=frac{G(x)}{H(x)+1}$$
剩下的就好办了,根据定义求出 $G(x)$ 和 $H(x)+1$ ,使用多项式求逆求出 $H(x)+1$ 的逆,再与 $G(x)$ 求乘法即可得到 $F(x)$ 。
最后的答案就是 $F(x)[n] imes(n-1)!$ 。
时间复杂度 $O(nlog n)$
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 262200 #define mod 1004535809 using namespace std; typedef long long ll; ll A[N] , B[N] , C[N] , t[N] , fac[N >> 1]; inline ll pow(ll x , ll y) { ll ans = 1; while(y) { if(y & 1) ans = ans * x % mod; x = x * x % mod , y >>= 1; } return ans; } void ntt(ll *a , int n , int flag) { int i , j , k; for(i = k = 0 ; i < n ; i ++ ) { if(i > k) swap(a[i] , a[k]); for(j = n >> 1 ; (k ^= j) < j ; j >>= 1); } for(k = 2 ; k <= n ; k <<= 1) { ll wn = pow(3 , (mod - 1) / k); if(flag == -1) wn = pow(wn , mod - 2); for(i = 0 ; i < n ; i += k) { ll w = 1 , t; for(j = i ; j < i + (k >> 1) ; j ++ , w = w * wn % mod) t = w * a[j + (k >> 1)] % mod , a[j + (k >> 1)] = (a[j] - t + mod) % mod , a[j] = (a[j] + t) % mod; } } if(flag == -1) { k = pow(n , mod - 2); for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) a[i] = a[i] * k % mod; } } void inv(ll *a , ll *b , int n) { if(n == 1) { b[0] = 1; return; } int i; inv(a , b , n >> 1); memcpy(t , a , sizeof(ll) * n); ntt(t , n << 1 , 1); ntt(b , n << 1 , 1); for(i = 0 ; i < n << 1 ; i ++ ) b[i] = b[i] * (2 - t[i] * b[i] % mod + mod) % mod; ntt(b , n << 1 , -1); memset(b + n , 0 , sizeof(ll) * n); } int main() { int n , i , len = 1; scanf("%d" , &n); fac[0] = A[0] = 1; for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { fac[i] = fac[i - 1] * i % mod; A[i] = pow(2 , (ll)i * (i - 1) / 2) * pow(fac[i] , mod - 2) % mod; B[i] = pow(2 , (ll)i * (i - 1) / 2) * pow(fac[i - 1] , mod - 2) % mod; } while(len <= n) len <<= 1; inv(A , C , len); ntt(B , len , 1); ntt(C , len , 1); for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) B[i] = B[i] * C[i] % mod; ntt(B , len , -1); printf("%lld " , B[n] * fac[n - 1] % mod); return 0; }