题目描述
一个 $n$ 行的代码出了bug，每行都可能会产生这个bug。你要通过输出调试，在其中加入printf来判断bug出现的位置。运行一次程序的时间为 $r$ ，加入一条printf的时间为 $p$ ，求最坏情况下调出程序的最短时间。
输入
输入包括一行三个整数：
n（1≤n≤10^6），代码行的数目;
r（1≤r≤10^9），编译和运行程序直到它崩溃的时间量;
p（1≤p≤10^9），增加单个的printf行所花费的时间。
输出
输出的最坏情况使用最优策略找到崩溃行的时间。
样例输入
16 1 10
样例输出
44
题解
数论+记忆化搜索
看题第一眼dp，设 $f[i]$ 表示 $i$ 行代码最坏情况下的最短时间。那么枚举添加的printf语句数，可以得出dp方程：$f[i]=f[lceilfrac i{j+1} ceil]+jp+r$ 。
考虑优化：$lceilfrac ni ceil$ 和下取整一样最多只有 $O(sqrt n)$ 个值。方法：从大到小枚举 $i$ ，令 $last=lceilfrac n{lceilfrac ni ceil} ceil$ ，则 $last$ 就是最后一个满足 $lceilfrac nj ceil=lceilfrac ni ceil$ 的 $j$ 。由于要让方程中的 $j$ 尽量小，因此使用 $last$ 转移。下一次令 $i=last-1$ 即可。
但是这样 $O(nsqrt n)$ 的时间复杂度还是过不了，考虑进一步优化：只有一个询问，因此无需知道大多数无用的 $f$ 值。使用记忆化搜索，这样更新的结果就只有 $f[lceilfrac ni ceil]$ 了。
使用微积分知识可以证得时间复杂度为 $O(n^{frac 34})$ （和杜教筛证明方法相同）
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[1000010] , r , p;
inline int cdiv(int x , int y)
{
return (x + y - 1) / y;
}
ll solve(int n)
{
if(n == 1) return 0;
if(f[n]) return f[n];
int i , j;
f[n] = 1ll << 62;
for(i = n ; i != 1 ; i = j - 1)
j = cdiv(n , cdiv(n , i)) , f[n] = min(f[n] , solve(cdiv(n , i)) + (j - 1) * p + r);
return f[n];
}
int main()
{
int n;
scanf("%d%lld%lld" , &n , &r , &p);
printf("%lld
" , solve(n));
return 0;
}