题目描述
给你一个 m * n 的矩阵，每个矩阵内有个权值V(i,j) (可能为负数)，要求找一条回路，使得每个点最多经过一次，并且经过的点权值之和最大。
输入
输入文件中的第一行为两个正整数n和m，表示游乐场的大小为n×m。因为这个娱乐场很狭窄，所以n和m满足：2<=n<=100，2<=m<=6。接下来的n行，每行有m个整数，第i行第j列表示游乐场的第i行第j列的小格子中的娱乐项目的满意度，这个满意度的范围是[-1000，1000]。同一行的两个整数之间用空格隔开。
输出
输出文件中仅一行为一个整数，表示最高的满意度之和。
样例输入
4 4
100 300 -400 400
-100 1000 1000 1000
-100 -100 -100 -100
-100 -100 -100 1000
样例输出
4000
题解
插头dp
设 $f[i][j][k]$ 表示轮廓线为第 $i$ 行第 $j$ 列，插头状态为 $k$ 的最大满意度。那么就和 哈密顿回路计数 那题按照同样的方法转移即可。
注意本题不要求走遍所有格子，因此更新答案的时机应该为：左插头为左括号，上插头为右括号，其余位置没有插头。此时更新答案。注意此时不要转移，因为只能选择一条回路，不能选择多条。
时间复杂度 $O(能过)$
#include <cstdio>
#include <cstring>
int m , f[110][7][130] , a[110][7] , b[7] , w[2200] , v[130] , tot;
inline void gmax(int &a , int b)
{
a = (a > b ? a : b);
}
void dfs(int p , int c , int now)
{
if(c < 0 || c > m - p + 1) return;
if(p > m)
{
w[now] = ++tot , v[tot] = now;
return;
}
dfs(p + 1 , c , now);
dfs(p + 1 , c + 1 , now + b[p]);
dfs(p + 1 , c - 1 , now + 2 * b[p]);
}
inline int right(int v , int p)
{
int i , c = 0;
for(i = p ; i <= m ; i ++ )
{
if(v / b[i] % 3 == 1) c ++ ;
if(v / b[i] % 3 == 2) c -- ;
if(!c) return i;
}
return -1;
}
inline int left(int v , int p)
{
int i , c = 0;
for(i = p ; ~i ; i -- )
{
if(v / b[i] % 3 == 2) c ++ ;
if(v / b[i] % 3 == 1) c -- ;
if(!c) return i;
}
return -1;
}
int main()
{
int n , i , j , k , p , q , ans = -1 << 30;
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
scanf("%d" , &a[i][j]);
b[0] = 1;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) b[i] = b[i - 1] * 3;
dfs(0 , 0 , 0);
memset(f , 0xc0 , sizeof(f));
f[1][0][w[0]] = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
{
for(k = 1 ; k <= tot ; k ++ )
{
p = v[k] / b[j - 1] % 3 , q = v[k] / b[j] % 3;
if(!p && !q) gmax(f[i][j][k] , f[i][j - 1][k]);
if(!p && !q && i < n && j < m) gmax(f[i][j][w[v[k] + b[j - 1] + 2 * b[j]]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(!p && q)
{
if(j < m) gmax(f[i][j][k] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(i < n) gmax(f[i][j][w[v[k] + q * (b[j - 1] - b[j])]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
}
if(p && !q)
{
if(i < n) gmax(f[i][j][k] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(j < m) gmax(f[i][j][w[v[k] + p * (b[j] - b[j - 1])]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
}
if(p == 1 && q == 1) gmax(f[i][j][w[v[k] - b[j - 1] - b[j] - b[right(v[k] , j)]]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(p == 2 && q == 2) gmax(f[i][j][w[v[k] - 2 * b[j - 1] - 2 * b[j] + b[left(v[k] , j - 1)]]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(p == 2 && q == 1) gmax(f[i][j][w[v[k] - 2 * b[j - 1] - b[j]]] , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
if(p == 1 && q == 2 && !(v[k] - b[j - 1] - 2 * b[j])) gmax(ans , f[i][j - 1][k] + a[i][j]);
}
}
for(j = 1 ; j <= tot ; j ++ )
if(v[j] % 3 == 0)
f[i + 1][0][j] = f[i][m][w[v[j] / 3]];
}
printf("%d
" , ans);
return 0;
}