• 【bzoj1010】[HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化dp


    题目描述

    P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过L。但他希望费用最小.

    输入

    第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

    输出

    输出最小费用

    样例输入

    5 4
    3
    4
    2
    1
    4

    样例输出

    1


    题解

    斜率优化dp

    设f[i]为第i个物品为某容器末尾时前i个物品的最小总代价,

    那么就有f[i]=f[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l)^2

                    =f[j]+(t[i]-t[j]-l')^2

    其中t[i]为前缀和sum[i]与i的和,l'为l+1(代码中直接将l++),目的是方便下一步推导与计算。

    展开平方并整理可得f[j]+(t[j]+l')^2=2*t[i]*t[j]+(f[i]+2*t[i]*l'-t[i]^2)。

    这是y=kx+b的形式,并且要求的是b的最大值,于是维护一个下凸包即可。

    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #define y(i) (f[i] + (t[i] + l) * (t[i] + l))
    #define x(i) t[i]
    using namespace std;
    int q[50010] , head , tail;
    long long f[50010] , t[50010];
    int main()
    {
    	int n , i;
    	long long l , a;
    	scanf("%d%lld" , &n , &l);
    	l ++ ;
    	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    		scanf("%lld" , &a) , t[i] = t[i - 1] + a + 1;
    	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    	{
    		while(head < tail && y(q[head + 1]) - y(q[head]) <= ((x(q[head + 1]) - x(q[head]))) * 2 * t[i]) head ++ ;
    		f[i] = f[q[head]] + (t[i] - t[q[head]] - l) * (t[i] - t[q[head]] - l);
    		while(head < tail && (y(i) - y(q[tail])) * (x(q[tail]) - x(q[tail - 1])) < (x(i) - x(q[tail])) * (y(q[tail]) - y(q[tail - 1]))) tail -- ;
    		q[++tail] = i;
    	}
    	printf("%lld
    " , f[n]);
    	return 0;
    }

     

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