• 最大流算法入门


    概念:

    容量网络:设G(V,E),是一个有向网络,在V中指定了一个顶点,称为源点(记为Vs),以及另一个顶点,称为汇点(记为Vt);对于每一条弧<u,v>属于E,对应有一个权值c(u,v)>0,称为弧的容量.通常吧这样的有向网络G称为容量网络.

    弧的流量:通过容量网络G中每条弧<u,v>,上的实际流量(简称流量),记为f(u,v);

    网络流:所有弧上流量的集合f={f(u,v)},称为该容量网络的一个网络流.

    可行流:在容量网络G中满足以下条件的网络流f,称为可行流.

        a.弧流量限制条件:   0<=f(u,v)<=c(u,v);

        b:平衡条件:即流入一个点的流量要等于流出这个点的流量,(源点和汇点除外).

    若网络流上每条弧上的流量都为0,则该网络流称为零流.

    伪流:如果一个网络流只满足弧流量限制条件,不满足平衡条件,则这种网络流为伪流,或称为容量可行流.(预流推进算法有用)

    最大流:在容量网络中,满足弧流量限制条件,且满足平衡条件并且具有最大流量的可行流,称为网络最大流,简称最大流.

    弧的类型:

    a.饱和弧:即f(u,v)=c(u,v);

    b.非饱和弧:即f(u,v)<c(u,v);

    c.零流弧:即f(u,v)=0;

    d.非零流弧:即f(u,v)>0.

    链:在容量网络中,称顶点序列(u1,u2,u3,u4,..,un,v)为一条链要求相邻的两个顶点之间有一条弧.

    设P是G中一条从Vs到Vt的链,约定从Vs指向Vt的方向为正方向.在链中并不要求所有的弧的方向都与链的方向相同.

    a.前向弧:(方向与链的正方向一致的弧),其集合记为P+,

    b.后向弧:(方向与链的正方向相反的弧),其集合记为P-.

    增广路:

    设f是一个容量网络G中的一个可行流,P是从Vs到Vt 的一条链,若P满足以下条件:

    a.P中所有前向弧都是非饱和弧,

    b.P中所有后向弧都是非零弧.

    则称P为关于可行流f 的一条增广路.

    沿这增广路改进可行流的操作称为增广.

    残留容量:给定容量网络G(V,E),及可行流f,弧<u,v>上的残留容量记为cl(u,v)=c(u,v)-f(u,v).每条弧上的残留容量表示这条弧上可以增加的流量.因为从顶点u到顶点v的流量减少,等效与从顶点v到顶点u的流量增加,所以每条弧<u,v>上还有一个反方向的残留容量cl(v,u)=-f(u,v).

    残留网络:设有容量网络G(V,E)及其上的网络流f,G关于f的残留网络记为G(V',E').其中G'的顶点集V'和G中顶点集G相同,V'=V.对于G中任何一条弧<u,v>,如果f(u,v)<c(u,v),那么在G'中有一条弧<u,v>属于E',其容量为c'(u,v)=c(u,v)-f(u,v),如果f(u,v)>0,则在G'中有一条弧<v,u>属于E',其容量为c'(v,u)=f(u,v).残留网络也称为剩余网络.


    下面是所有最大流算法的精华部分:引入反向边

    为什么要有反向边呢?

     

    我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)

    这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。

    但这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。

    那么我们刚刚的算法问题在哪里呢?问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢?回溯搜索吗?那么我们的效率就上升到指数级了。

    而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。

    我们直接来看它是如何解决的:

    在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时,inc(c[y,x],delta)

    我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下

    这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。

    那么,这么做为什么会是对的呢?我来通俗的解释一下吧。

    事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。(有人问如果这里没有2-4怎么办,这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点)同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流量。

    EK算法

    EK算法的核心
    反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径,若有,找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta,若无,则结束。
    在寻找增广路径时,可以用BFS来找,并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。
    而找到delta后,则使最大流值加上delta,更新为当前的最大流值。

    对于BFS找增广路:

    1.         flow[1]=INF,pre[1]=0;

            源点1进队列,开始找增广路,capacity[1][2]=40>0,则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

            capacity[1][4]=20>0,则flow[4]=min(flow[1],20)=20;

            capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40,30)=30;

            capacity[2][4]=30,但是pre[4]=1(已经在capacity[1][4]这遍历过4号点了)

            capacity[3][4].....

            当index=4(汇点),结束增广路的寻找

            传递回increasement(该路径的流),利用前驱pre寻找路径

    路径也自然变成了这样:

    2.flow[1]=INF,pre[1]=0;

     源点1进队列,开始找增广路,capacity[1][2]=40>0,则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

            capacity[1][4]=0!>0,跳过

            capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40,30)=30;

            capacity[2][4]=30,pre[4]=2,则flow[2][4]=min(flow[2]=40,20)=20;

            capacity[3][4].....

            当index=4(汇点),结束增广路的寻找

            传递回increasement(该路径的流),利用前驱pre寻找路径

     图也被改成

      

    接下来同理

    这就是最终完成的图,最终sumflow=20+20+10=50(这个就是最大流的值)

    EK模板:

    problem:hdu 1532

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <cmath>
    #include <ios>
    #include <string.h>
    #include <queue>
    #include <algorithm>
    #include <iomanip>
    #define MAX 0x3f3f3f3f
    #define IO ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        cout.tie(0);
    using namespace std;
    const int N = 205;
    int r[N][N],pre[N];
    bool vis[N];
    int n,m;//n边,m点
    bool BFS(int s,int t){
        queue<int > que;
        memset(pre,-1,sizeof(pre));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        pre[s] = s;
        vis[s] = 1;
        que.push(s);
        while(!que.empty()){
            int p = que.front();
            que.pop();
            for(int i = 1;i <=m; i++){
                if(r[p][i]>0 && !vis[i]){
                    pre[i] = p;
                    vis[i] = 1;
                    if(i == t)
                        return 1;
                    que.push(i);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    int EK(int s,int t){
        int maxflow = 0,d;
        while(BFS(s,t))
        {
            d = MAX;
            for(int i = t; i != s; i = pre[i]) //寻找增广路中最小的残量
                d = min(d,r[pre[i]][i]);
            for(int i = t; i != s; i = pre[i]){
                r[pre[i]][i] -= d;
                r[i][pre[i]] += d;
            }
            maxflow +=d;
        }
        return maxflow;
    }
    int main()
    {
        IO
        while(cin>>n>>m){
            memset(r,0,sizeof(r));
            int s,e,c;
            for(int i = 0; i < n; i++){
                 cin>>s>>e>>c;
                 r[s][e] += c;
            }
            cout<<EK(1,m)<<endl;
        }
        return 0;
    }
    宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GHzcx/p/9147311.html
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