数学描述
给定(n)个二元组((value_i, cost_i))。(value_i)是选择此二元组获得的价值(非负), (cost_i)是选择此二元组付出的代价(非负),设(x _i) (( x_i ∈ { 0 , 1 } ))代表第(i)个二元组的选与不选,最大(小)化下式
(maximize(or minimize) r = frac{sum{(value_i*x_i)}}{sum{(cost_i * x_i)}})
问题引入
为了便于理解该问题解法的推导过程,通过以下问题的解决过程引出基本01分数规划问题的解法
问题描述
给定一张(L)个点、(P)条边的有向图,每个点都有一个权值(f[i]),每条边都有一个权值(t[i])。
求图中的一个环,使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。
输出这个最大值。
[注]: 数据保证至少存在一个环
输入格式
第一行包含两个整数(L) 和 (P)。
接下来(L)行每行一个整数,表示(f[i])。
再接下来 (P) 行,每行三个整数 (a,b,t[i]),表示点 (a) 和 (b) 之间存在一条边,边的权值为 (t[i])。
输出格式
输出一个数表示结果,保留两位小数。
数据范围
(2≤L≤1000),
(2≤P≤5000),
(1≤f[i],t[i]≤1000)
输入样例
5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2
输出样例
6.00
解决思路
此题型的解决方法为二分+spfa判负环
本题是求最值的问题,所以二分不难想到,然后还需要判断是否可以采用二分
- 使用二分的首要条件是二分对象的取值是可知的
- 条件1满足,答案区间为((0, 1000])
- 满足条件1之后,给定一个mid,假设具有某种方法来判定一个该值是否符合条件,考虑在得知此值合法性的前提下,是否可以将原取值范围缩减
- 条件2满足,给定一个mid值,假设(frac{sum{f[i]}}{sum{t[i]}} > mid),那么答案处在mid的右半区间,反之处在左半区间
- 如果满足了条件2,那么考虑是否具有某种方法来判定mid的合法性,如果不能判断那么前面的假设就不成立,二分法不可取,反之可取
- 需要判断(frac{sum{f[i]}}{sum{t[i]}})与(mid)的大小关系,那么就假设(frac{sum{f[i]}}{sum{t[i]}} > mid),推导后可得(mid * sum{t[i]} - sum{f[i]} < 0)。即对于一个边权为(mid*t-f)的图,判断是否存在一个负环(注意后面这里是t和f,代表一个点权和边权,而非点权和,边权和)来判断mid的合法性,条件3成立
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 5010;
int n, m;
int f[N];
bool st[N];
int cnt[N];
double dis[N];
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int t)
{
w[idx] = t;
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
}
// 有负环返回true,否则返回false
bool spfa(double x)
{
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
cnt[i] = 0;
dis[i] = 0.0;
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
int t = q.front(); q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int p = e[i];
if (dis[p] > dis[t] + x * w[i] - f[t])
{
dis[p] = dis[t] + x * w[i] - f[t];
cnt[p] = cnt[t] + 1;
if (cnt[p] >= n) return true;
if (!st[p])
{
q.push(p);
st[p] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
cin >> f[i];
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 0; i < m; ++ i)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
double l = 0.0, r = 1000.0;
const double eps = 1e-6;
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2.0;
if (spfa(mid)) l = mid;
else r = mid; // 浮点数不需要加减1
}
printf("%.2lf
", l);
return 0;
}