扩展欧几里得

求解 (ax + by = d) 的解x和y。有解的条件为 d | gcd(a, b)

算法原理

假设现在我们已经得知了 (by + (a \% b)x = d) 的解 y 和 x
将 (by + (a \% b)x = d) 等价变形可以得到 (ax + b(y - lfloor frac{a}{b} floor x) = d)
所以说如果我们先计算了(by + (a \% b)x = d) 的解 y 和 x，就可以得到我们最初想要计算的 (ax + by = d) 中的x和y
设 (by + (a \% b)x = d) 的解 y 和 x分别为 y1 和 x1， 那么(ax + by = d) 中的 x = x1， y = y1 - a / b * x1

易错点

扩展欧几里得的解并不唯一，假设 (ax + by = d) 的一组解为 x1 和 y1，那么 (x1 + k * frac{b}{gcd(a,b)}) 和 (y1 - k * frac{a}{gcd(a,b)}) 则是方程的通解，代入即可验证其正确性
为了后续叙述的方便，我们用(t)代替(frac{b}{gcd(a,b)})。
(x1 + k * t)是解，那么(x1 - k * t)自然也是解，只需要y的解对应变化即可。那么当题目中要求我们求解x的最小正整数解时，接下来我们考虑应如何计算
分类讨论：

1. 当(x_1)为正数时，如果(x_1<t)，此时的(x_1)就是最小正整数解，因为如果再减(t)答案就会变为负数了；如果(x_1>t)，操作应为while (x > t) x -= t;，等价于x %= t
2. 当(x_1)为负数时，如果操作应为while (x < 0) x += t;,等价于x = x % t + t,这里的操作是很巧妙的，第一次%t将(x)变化到绝对值小于(t)，这样再加t就能保证答案一定是正数且是最小的
   综上所述，可以发现，负数比正数多了一个(+t)的操作，为了统一两者，(+t)之后只需要再%t一次即可。最终操作为x = (x % t + t) % t

代码实现

/**
 * 求解ax + by = d
 * 无解输出impossible
 */
#include <iostream>

using namespace std;

// 不管题目怎么变化，exgcd只负责求解 ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return gcd;
}
int main()
{
    int a, b, d, x, y;
    cin >> a >> b >> d;
    int t = exgcd(a, b, x, y);

    // 有解的条件为m是gcd(a, b)的倍数
    if (d % t) cout << "impossible" << endl;
    else cout << d / t * x << ' ' << d / t * y << endl;
    
    return 0;
}

用途

计算乘法逆元