洛谷 P1434 [SHOI2002]滑雪（DP，记忆化搜索）

题目描述

Michael喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：

1   2   3   4   5
16  17  18  19   6
15  24  25  20   7
14  23  22  21   8
13  12  11  10   9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为$24－17－16－1$（从$24$开始，在$1$结束）。当然$25－24－23－...－3－2－1$更长。事实上，这是最长的一条。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数$R$和列数$C$（$1≤R$，$C≤100$）。下面是$R$行，每行有$C$个数，代表高度(两个数字之间用1个空格间隔)。

输出格式：

输出区域中最长滑坡的长度。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出样例#1：

25

思路

可以轻易地推出状态转移方程为：
$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+1,dp[i][j] (if dp[i][j]>dp[i-1][j])$

$dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+1,dp[i][j] (if dp[i][j]>dp[i+1][j])$

$dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+1,dp[i][j] (if dp[i][j]>dp[i][j-1])$

$dp[i][j]=max(dp[i][j+1]+1,dp[i][j] (if dp[i][j]>dp[i][j+1])$

但是$dp[i-1][j],dp[i+1][j],dp[i][j-1],dp[i][j+1]$的值不能通过普通的线性dp来求的，所以需要进行记忆化搜索来遍历所有的状态，并进行记忆化，这样就可以获得上述四个状态的值了，然后进行dp即可

也可以将二维的地图进行降维，然后进行线性dp，具体方法请看dalao博客：https://sparky.blog.luogu.org/solution-p1434

AC代码

/*************************************************************************

	 > Author: WZY
	 > School: HPU
	 > Created Time:   2019-02-06 20:45:27
	 
************************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x7f7f7f7f
const int maxn=1e3+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];
int dir[4][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1};
int n,m;
int dfs(int x,int y)
{
	if(dp[x][y])
		return dp[x][y];
	int _=0;
	for(int i=0;i<4;i++)
	{
		int dx=x+dir[i][0];
		int dy=y+dir[i][1];
		if(dx<=n&&dx>0&&dy<=m&&dy>0&&a[x][y]>a[dx][dy])
			_=max(dfs(dx,dy)+1,_);
	}
	dp[x][y]=max(_,dp[x][y]);
	return dp[x][y];
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>a[i][j];
	ms(dp,0);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			ans=max(ans,dfs(i,j));
	cout<<ans+1<<endl;
	return 0;
}