题目 1
在 (Delta ABC) 中，满足 (cos^2{cfrac{A}{2}} = cfrac{b+c}{2c}) ，判断三角形形状。
解
其中
[egin{aligned}
cos^2{cfrac{A}{2}} &= cfrac{b+c}{2c} \
cfrac{1+cos{A}}{2} &= cfrac{sin{B}+sin{C}}{2sin{C}} \
1+cos{A} &= cfrac{sin{B}+sin{C}}{sin{C}} \
1+cos{A} &= cfrac{sin{B}}{sin{C}} + 1 \
cos{A} &= cfrac{sin{B}}{sin{C}} \
cos{A} &= cfrac{b}{c}
end{aligned}
]
根据余弦定理有
[cos{A} = cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
]
所以可得到
[b^2+c^2-a^2=2b^2
]
即
[a^2+b^2=c^2
]
即直角三角形。
感谢 @Arielz 补充的证明过程。
其实画个图就明显，三个角满足这样条件的三角形只有直角三角形。
如图，
涉及知识点
半角公式，三角形边角关系，正弦定理。
数形结合。
瞎搞
题目来源
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附：半角公式推导
①
由倍角公式可知
[cos{2 alpha} = 1 - 2 sin^2{alpha}
]
则有
[egin{aligned}
cos{alpha} &= 1 - 2 sin^2{cfrac{alpha}{2}} \
1 - cos{alpha} &= 2 sin^2{cfrac{alpha}{2}} \
sin^2{cfrac{alpha}{2}} &=cfrac{1 - cos{alpha}}{2} \
end{aligned}
]
可得
[sincfrac{a}{2} = sqrt{cfrac{1 - cos{alpha}}{2}}
]
②
由
[cos^2{cfrac{alpha}{2}} = 1 - sin^2{cfrac{alpha}{2}}
]
可知
[egin{aligned}
&cos^2{cfrac{alpha}{2}}\
= &1-cfrac{1-cos{alpha}}{2} \
= &cfrac{1+cos{alpha}}{2}
end{aligned}
]
那么可得
[cos{cfrac{a}{2}} = sqrt{cfrac{1+cos{alpha}}{2}}
]
③
由
[ an{alpha} = cfrac{sin{alpha}}{cos{alpha}}
]
有
[ an{cfrac{a}{2}} = cfrac{sincfrac{a}{2}}{cos{cfrac{a}{2}}}
]
整理可得
[ ancfrac{a}{2} = sqrt{cfrac{1-cos{alpha}}{1+cos{alpha}}}
]
证毕。