• SG函数和SG定理 【博弈论】


    SG函数

      首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。

    例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

    【实例】取石子问题

    有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

    SG[0]=0,f[]={1,3,4},

    x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

    x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

    x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

    x=4 时,可以取走4-  f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

    x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

    以此类推.....

       x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

    SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

    步骤:

    1、预处理 f 数组(当前通过哪些操作后可得到的状态)

    2、使用另一个数组标记后继状态。

    3、模拟 mex 运算,找最小值,赋给SG

    4、重复2-3,完成过程。

    fighting fighting fighting

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