题目
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
思路
这道题其实就是剑指offer上的剪绳子问题，有动态规划和贪心算法两种解法。
动态规划
dp[i]表示正整数i的最大乘积，则dp[i]=max{dp[i-1]*1, (i-1)*1, dp[i-2]*2, (i-2)*2, ... , dp[i-(i-1)]*(i-1), (i-(i-1))*(i-1)};
之所以还要进行dp[i-j]*j和(i-j)*j的比较是因为可能i只进行一次划分，得到i-j不继续划分了。
public int integerBreak(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
//1不能被划分
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;++j)
dp[i]=Math.max(Math.max(dp[i-j]*j,j*(i-j)),dp[i]);
return dp[n];
}
其实由下面贪心算法部分的分析可知，当n>=4时，划分得到结果都是大于等于不划分的结果的，那么此时就没有必要进行dp[i-j]*j和(i-j)*j的比较了，于是可以有下面的写法。
注意这里的dp[i]并不是子问题的结果，因为题目中要求了必须拆分为至少两个正整数的和，这里的dp[i]并没有保证一定会划分，例如dp[2]=2而不是dp[2]=1*1=1)。因为n<4时，dp[i]都是没有经过划分的结果，所以n=2,n=3时需要单独返回。
public int integerBreak(int n) {
if(n==2) return 1;
if(n==3) return 2;
int[] dp=new int[n+1];
//i<4时，dp[i]是没有经过划分的结果
dp[2]=2;
dp[3]=3;
//i>=4时，dp[i]都是划分得到的结果
for(int i=4;i<=n;++i){
for(int j=2;j<i;++j){
dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]*(i-j));
}
}
return dp[n];
}
贪心算法
2*(n-2)>=n,解得n>=4。也就是说大于等于4的正整数都可以继续划分，故划分出来的正整数不能大于3。又显然有1*(n-1)<n，故划分出来的整数要么是2，要么是3。
那么是优先划分出来3，还是划分出来2呢？
3*(n-3)>=2*(n-2)，解得n>=5。即n>=5时，优先划分出3。
总结如下：
n>=5时，优先划分出3；
n=4时，优先划分出2(其实可以直接返回结果4)；
n<=3时，不划分。但题目要求拆分为至少两个正整数的和，那么n<=3时的情况可以单独返回。
public int integerBreak(int n) {
if(n==2) return 1;
if(n==3) return 2;
if(n==4) return 4;
//默认n>=5，这时优先划分出3
int numOf3=n/3;
//划分到只剩下4的时候应该停止划分出3，因为3*(n-3)>=2*(n-2)的前提条件是n>=5
if(n-numOf3*3==1) numOf3--;
int numOf2=(n-numOf3*3)/2;
return (int)Math.pow(3,numOf3)*(int)Math.pow(2,numOf2);
}
来源：力扣（LeetCode）
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