Algorithm Course Review(5.1)

　　第五章，归纳法，Induction。

　　对于带有参数n的问题，在寻找这类问题的解时，有时可以从求解一个带有小一点参数的相同问题开始，如参数是n-1,n/2等，然后再把解推广到参数为n的情况。这个过程可以用数学归纳法证明。如数学归纳法有个前提条件一样，只有在知道如何求解参数小于n的同样问题时，这个递推归纳的过程才能进行。所以这种算法过程也很容易的可以写成递归。
　　典型的例子，选择排序，插入排序，基数排序等等。这里给出几个典型的程序。
　　基数排序
　　参考http://www.cnblogs.com/dlutxm/archive/2011/10/20/2219321.html
　　这位博主的代码很有意思，radix=10，但是他没有用到10个表来保存对应的数据，而是一种很巧妙的方法。不过我觉得代码里对i滥用了，还有计算第k个位置数据的radix重复计算了一次，所以我用了一个数组保存第一次计算的结果。空间换时间，也或许并没有换到时间。
　　基数排序的时间复杂度是O(kn),虽然是线性时间复杂度，但并不一定表示比快速排序，归并排序速度快，而且基数排序用于无符号数，对其他类型的数据支持的就不太好了。

　　基数排序有两个需要注意的地方，一个就是要从低位向高位排序，另一个问题就是同一数位的排序子程序要使用稳定排序。先给出链接http://www.cnblogs.com/sun/archive/2008/06/26/1230095.html。
　　代码如下，

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
using namespace std;

template<class Type>
void print(vector<Type>& A)
{
    for(unsigned int i=0;i<A.size();i++)
    {
        cout << " " << A[i];
    }
    cout << endl;
}


void radixsort(vector<unsigned int>& A)
{
    if(A.size()<2)
        return;
    const int radixNum = 10;
    vector<unsigned int> cnt(radixNum,0);
    vector<unsigned int> tmp(A.size(),0);
    vector<unsigned int> tq(A.size(),0);
    int d = 1;
    for(unsigned int i=0;i<A.size();i++)
    {
        int c = 1;
        unsigned int p = A[i];
        while(p/10)
        {
            p = p / 10;
            c++;
        }
        if(c>d)
            d = c;
    }

    int r = 1;
    for(unsigned int i=0;i<d;i++)
    {
        for(unsigned int j=0;j<radixNum;j++)
            cnt[j]= 0;
        for(unsigned int k=0;k<A.size();k++)
        {
            int p = A[k]/r;
            int q = p % 10;
            tq[k] = q;
            cnt[q]++;
        }
        for(unsigned int j=1;j<radixNum;j++)
            cnt[j] += cnt[j-1];
        for(int k=A.size()-1;k>=0;k--)
        {
            int s = tq[k];
            tmp[cnt[s]-1] = A[k];
            cnt[s]--;
        }
        for(unsigned int j=0;j<A.size();j++)
            A[j] = tmp[j];
        r *= 10;
    }
}


int main()
{

    int N = 16;
    vector<unsigned int> A(N,0);
    for(int i=0;i<N;i++)
        A[i] = rand() % 1000;
    print(A);
    radixsort(A);
    print(A);

    return 0;
}

　　当学会使用rand()之后，测试也简单多了。