洛谷P3959——宝藏

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题意：

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了$n$个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这$n$个宝藏屋之间可供开发的$m$条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

$L*K$

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

思路：看数据范围，$n<=12$，很自然而然想到状态压缩。

我们用$dp[i][mask]$保存从$i$开始挖，当前状态为$mask$的最少花费

现在的难点在于如何处理$K$——这个点在这棵树中的深度。

我们用$dis[i][mask]$保存在当前状态为$mask$，且当前答案最优，第$i$个点在树中的深度加一（为什么要加一？转移时好看一点嘛~~~）

我们可能会担心，当前$mask$最佳的连图方式无法保证它扩展到下一个节点的答案最优，但考虑到对于要被更新的$mask'$，总有一种之前最佳的$mask$连上一条边会使当前$mask'$答案最优。

而且被更新的$mask'$一定大于$mask$，所以每一个$dp[i][mask]$都会被更新到最优，那么我们在最后更新一下$ans$就可以啦~~~

代码：（之前并没有保存对于每一个$mask$的$dis$，导致可能最优连图和点的深度不对应，甚至答案会偏小（详见我洛谷上40分代码，即保存的是最小深度，而不是最优连图下的深度））

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10200;
const ll inf=(int)2e9;

ll dp[15][5005],n,m;
ll E[21][21],dis[5005][21];

void checkmin(ll &x,ll y)
{
    if(x>y) x=y;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++) E[i][j]=inf;
    }
    int full=(1<<n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<full;j++) dp[i][j]=inf;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y; ll z;
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        x--; y--; if(x==y) continue;
        E[x][y]=min(z,E[x][y]);
        E[y][x]=min(z,E[y][x]);
    }
    for(int start=0;start<n;start++)
    {
        dis[(1<<start)][start]=1; dp[start][(1<<start)]=0;
        for(int mask=0;mask<full;mask++)
        {
            if(!(mask>>start)&1) continue;
            for(int from=0;from<n;from++)
            {
                if(!(mask>>from)&1) continue;
                for(int to=0;to<n;to++)
                {
                    if((mask>>to)&1) continue;
                    if(dp[start][mask]==inf||dis[mask][from]==0) continue;
                    if(E[from][to]==inf) continue;
                    int mask1=mask|(1<<to);
                    if(dp[start][mask1]>dp[start][mask]+dis[mask][from]*E[from][to])
                    {
                        dp[start][mask1]=dp[start][mask]+dis[mask][from]*E[from][to];
                        for(int p=0;p<n;p++) dis[mask1][p]=dis[mask][p];
                        dis[mask1][to]=dis[mask][from]+1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    ll ans=inf;
    for(int i=0;i<n;i++) checkmin(ans,dp[i][full-1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

（本来以为这种做法是错的，兴致勃勃地造了一组数据结果发现hack不掉。。。现在才真正懂）