• 学习笔记——CDQ分治


    再次感谢这位大佬的博客:https://www.cnblogs.com/ljc20020730/p/10395866.html

    CDQ分治,是一种在分治合并中计算前面值对后面答案的贡献的一种算法。今天主要围绕多维偏序问题来对CDQ分治进行介绍

    先定义偏序:(以下转载自百度百科)

    设R是集合A上的一个关系,如果R是自反的、反对称的和可传递的,则称R是集合A的偏序关系,简称偏序

    (1)自反性:a≤a,∀a∈P;
    (2)反对称性:∀a,b∈P,若a≤b且b≤a,则a=b;
    (3)传递性:∀a,b,c∈P,若a≤b且b≤c,则a≤c;

    二维偏序:给定n个二元组,求有多少对二元组满足$a[i].x>=a[j].x$,且$a[i].y>=a[j].y$

    暴力$n^{2}$肯定不行,我们可以采用归并排序的方法,对第一维从小到大进行排序,这样只会前面影响后面,然后我们再用类似于“逆序对”的方法统计第二就可以啦~~

    拓展题:CF957E(怎么用二维偏序自己想哦~)

    三位偏序:和二维偏序类似,在用逆序对维护第二维的同时,我们需要再用数据结构统计一下同时满足第三维时的贡献

    做法:

    1.对第一维进行排序

    2.对二维进行归并排序,并同时统计前面对后面的贡献(在同一组的之前已经统计过了):

    3.若前面$a[i].y$一直小于等于$a[j].y$,则将$a[i].z$塞到树状数组里维护:即这个这段区间内值为$z$的有几个(记得对于$z$离散化)

    4.一旦$a[i]>a[j]$就说明后面的$a[i]$不会再对$a[j]$产生贡献,所以对于$a[j].z$在树状数组$[1,a[j].z]$区间内查询有多少个$z$即为贡献

    代码实现:(细节超多啊QAQ)

    首先是要去重,因为完全相同的三元组是会互相影响的,而在归并排序中只会左边影响右边,会少讨论情况

    其次是在统计答案时每几个完全相同的三元组的内部影响要加上

    还有就是在树状数组用完以后要清0,但不要用memset,不然复杂度会直线上升,只需要对于之前更新过的树状数组再反着更新回来就可以啦~

    模板题:陌上花开

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=102000;
    void print()
    {
        puts("OK");
    }
    
    int n,tt[N],ans[N],f[N],k;
    int C[N*2];
    struct node{
        int x,y,z,id,cnt;
        bool operator < (const node &rhs) const{
            if(x!=rhs.x) return x<rhs.x;
            if(y!=rhs.y) return y<rhs.y;
            if(z!=rhs.z) return z<rhs.z;
            return id<rhs.id;
        }
        bool operator == (const node &rhs) const{
            return x==rhs.x&&y==rhs.y&&z==rhs.z;
        }
    }a[N];
    node t[N]; int tot=0;
    
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    
    void update(int p,int x)
    {
        while(p<=k)//树状数组长度为k(值不同的个数) 
        {
            C[p]+=x;
            p+=lowbit(p);
        }
    }
    
    int query(int x)
    {
        int ret=0;
        while(x>0)
        {
            ret+=C[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return ret;
    }
    
    void init()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        int i=1; tot=0;
        while(i<=n)
        {
            int j=i+1;
            while(j<=n&&a[j]==a[i]) j++;
            t[++tot]=a[i];
            t[tot].cnt=j-i;
            t[tot].id=tot;    
            i=j;
        }
        for(int i=1;i<=tot;i++) a[i]=t[i];
        for(int i=1;i<=tot;i++) tt[i]=a[i].z;
        sort(tt+1,tt+tot+1);
        int m=unique(tt+1,tt+tot+1)-tt-1;
        for(int i=1;i<=tot;i++)
        {
            a[i].z=lower_bound(tt+1,tt+m+1,a[i].z)-tt;
            //记得要算自己内部的影响 
        }
    }
    
    void CDQ(int l,int r)
    {
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        CDQ(l,mid); 
        CDQ(mid+1,r);
        int i=l,j=mid+1,top=l-1;
        while(i<=mid&&j<=r)
        {
            if(a[i].y<=a[j].y)//能做出贡献 
            {
                update(a[i].z,a[i].cnt);
                t[++top]=a[i++];
            }
            else
            {
                ans[a[j].id]+=query(a[j].z);//之前j写成i了 
                t[++top]=a[j++];
            }
        }
        while(i<=mid)
        {
            update(a[i].z,a[i].cnt);
            t[++top]=a[i];
            i++;
        }
        while(j<=r)
        {
            ans[a[j].id]+=query(a[j].z);
            t[++top]=a[j];
            j++;
        }
        //for(int i=1;i<=tot;i++) cout<<ans[i]<<" "; cout<<endl;
        for(int i=l;i<=mid;i++)
        {
            update(a[i].z,-a[i].cnt);
        }
        for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=t[i];
    }
    
    int main()
    {
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        memset(f,0,sizeof(f));
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
            a[i].cnt=1;
        }
        init();
        CDQ(1,tot);
        for(int i=1;i<=tot;i++) 
        {
            ans[a[i].id]+=a[i].cnt-1;//之前枚举ans的坐标,却发现没有保存原坐标对应现坐标,但是现a[i]有对应原坐标,所以枚举a下标 
            f[ans[a[i].id]]+=a[i].cnt;//现顺序已经被归并排序弄得毫无意义,要用id,加cnt,而不是1 
        }
        for(int i=0;i<n;i++) printf("%d
    ",f[i]);
        return 0;
    }

    四维偏序:这是神仙题啊~~~一般用bitset解决,CDQ套CDQ复杂度实在是太大了,但还是介绍一下思路吧

    首先第一维还是排序,然后对第二位进行CDQ分治,但是还剩下两维(可以每一次插入都把后三位拉出来进行cdq,但复杂度太高了,我们考虑在最后进行)

    因为只有前面对后面有影响,所以我们记录它是在左边还是在右边

    显然在归并排序之后第二维已经达到了有序,然后我们再来一遍CDQ,对记录是左边的进行update,右边的进行query,而且因为从第二维小到大排序,所以一定只有前面影响后面

    最后就是再对第三位进行分治,然后对第四维进行树状数组统计就可以啦~~

    (代码详见上述那位神仙的博客,本蒟蒻没有这个实力啊QAQ)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Forever-666/p/11318184.html
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