[BZOJ 1369][树形DP] Gem

树形DP题

这题乍一看会觉得：“这啥玩意，染遍色不就出来了吗，这么水?”

然后就会发现直接WA掉

其实这题是个树形DP题，我们可以发现当类似“偶数个节点链接了两颗大子树”之类强制让你的结构中一大部分点使用 2 作为点权的情况时，仅用两个颜色并不能得到最优解。

而且这题的恶心之处在于它还是个结论题：可以证明按题意染色一棵树需要的颜色种数不超过log(n)

显然我是不会证的，但有神仙证出来了（而且机房You神也证出来了貌似%%%）

于是可以写树形DP：f[i][j] 表示 以 i 节点为根节点的一棵子树，当 i 节点的颜色(点权)为 j 时可得的最小点权和

而转移就很显然了：

　　f[i][j] = ∑(min(f[k][l])) 其中 k 是 i 的子节点，l,j∈[1, 15] 且 l ≠ j

代码如下：

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# define MAXN 10005
# define MAXINT 2<<20

using namespace std;

struct edge{
    int u, v;
    int next;
}e[MAXN <<2];

int head[MAXN], cntEdge, f[MAXN][21];

void addEdge(int u, int v){
    e[cntEdge++].u = u;
    e[cntEdge].v = v;
    e[cntEdge].next = head[u];
    head[u] = cntEdge;
    return;
}

void dfs(int now, int fa){
    for(int i = head[now]; i; i = e[i].next)
        if(e[i].v != fa)
            dfs(e[i].v, now);

    for(int i = 1; i <= 20; i++)
        for(int j = head[now]; j; j = e[j].next)
            if(e[j].v != fa){
                int ans = MAXINT;
                for(int k = 1; k <= 20; k++)
                    if(i != k)
                        ans = min(ans, f[e[j].v][k]);
                f[now][i] += ans;
            }
    return;
}

int main(){
    int n, x, y, ans = MAXINT; 
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= 20; j++)
            f[i][j] = j; // 初始化
    

    for(int i = 1; i < n; i++){
        scanf("%d%d", &x, &y);
        addEdge(x, y);
        addEdge(y, x);
    }

    dfs(1, 0);

    for(int i = 1; i <= 20; i++)
        ans = min(ans, f[1][i]);

    printf("%d", ans);

    return 0;
}

复杂度大概是 O(log(n^2)) 的吧。。 这东西我根本不会算

以上