今天，我在博客园看到一篇文章，其中的问题我稍微改动一下：有两个医生，甲医生，男性手术失败率18.75%，女性手术，失败率3.9%；乙医生，男性手术失败率20%，女性手术失败率3.92%。问甲乙两个医生谁更优秀一些？
当时，我是这样想的：甲医生手术失败率=（18.75%+3.9%）/2，约等于11.33%;乙医生手术失败率=（20%+3.92%）/2，约等于11.96%；由于11.33%比11.96%小，所以甲医生更优秀一些。还有的人甚至不用计算，无论男性手术还是女性手术，甲医生的失败率都比乙医生的小，整体上甲医生的失败率还是比乙医生的小，所以甲医生相对乙医生更优秀一些。
看到这个题目，99%的人都会认为甲医生比乙医生更优秀一些；剩余的1%乙医生可能更优秀一些。
先不讨论谁对谁错，我们再看一道题：有两个医生，甲医生，男性手术16次，失败3次，女性手术1000次，失败39次；乙医生，男性手术10次，失败2次，女性手术1200次，失败47次。问甲乙两个医生谁更优秀？
单独来看就是就是一道算术题，确实也是。甲医生手术失败率=（3+39）/（16+1000），约等于4.1339%；乙医生手术失败率=（2+47）/（10+1200），约等于4.0496%。由于4.0496%小于4.1339%，所以这道题的答案是乙医生更优秀一些。
不知道大家有没有结合这两道题来看，甲医生，男性手术16次，失败3次，失败率=3/16，约等于18.75%；女性手术1000次，失败39次，失败率=39/1000=3.9%。乙医生，男性手术10次，失败2次，失败率=2/10=20%；女性手术1200次，失败47次，失败率=47/1200，约等于3.92%。这时候，大家有没有察觉到什么？
为什么甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低，但在整体上，甲的手术失败率却比乙的高？
对于第一道题，我们习惯性将比较的对象统一。假设甲乙男性手术都是x次，女性手术都是y次（x，y都是大于1），这样就有18.75%x<20%x，且3.9%y<3.92%y。于是(18.75%x+3.9%)/(x+y)<(20%x+3.92%y)/(x+y)也成立。我们再将情况特殊化，x=y时，就是前面计算的方法。对于甲乙手术次数不相同的情况，我们忽略了。甲在男性手术失败率比乙的低，并且在女性手术失败率也比乙的低，潜意识地认为甲整体失败率肯定比乙低，理所当然是甲比较优秀。在甲乙手术次数不相同的情况下，甲乙谁更优秀就很难说，第二道题就是很好的例子。
对于第二道题，毋庸置疑是乙医生更优秀。以乙医生为例，男性手术失败率为20%，女性手术失败率为3.92%。肯定的说乙的整体失败率为大于等于3.92%且小于等于20%。普遍来说，假设乙医生男性手术失败率为x(0<x<y<1)，手术次数为a(a>=0)；女性手术失败率为y，手术次数为b(b>=0)。那么乙的整体失败率=（ax+by）/（a+b）；（ax+by）/（a+b）=（ax+bx+b(y-x)）/（a+b）=x+（b（y-x）/（a+b））>=x；（ax+by）/（a+b）=（(a+b)y+a(x-y)）/（a+b）=y-(a(y-x)/(a+b))>=y。当a=0或b=0时，等号成立。当a=0且b=0时，乙就没有手术失败成功而言。总之，乙的整体失败率在x和y之间，包含x(当b=0时)和y(当a=0时)，当a远远大于b时，整体失败率趋近于x；当a远远小于b时，整体失败率趋近于y。同样也适合甲医生，这样也就解释了甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低，但在整体上，甲的手术失败率却比乙的高。
小结一下，对待把握性大的事情就多做；把握小性的事情就少做，甚至不做，这样做成功的事情的几率就很高。这也说明人的潜意识和直觉有时候也不靠谱。
PS:
后来，我发现先前对第一道题的分析确实有误，对园友们产生的误导感到抱歉。甲乙两位医生谁更优秀，应该在同一条件下进行比较，谁的整体手术失败率低谁更优秀。这样在男性（m次）和女性（n次）手术次数相同的情况下，甲医生的整体手术失败率=（18.75%m+3.9%n）/(m+n),乙医生的整体手术失败率=（20%m+3.92%n）/(m+n)。毋庸置疑，甲医生的整体手术率比乙的低。因此，甲更优秀。
而就第二道题而言，在不同的手术次数下比较，条件不统一，甲乙医生两人之间没有谁更优秀而言。但还是可以分析出，甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低，但在整体上，甲的手术失败率却比乙的高。
总结，之前已经分析出，整体失败率在男性手术失败率与女性手术失败率之间“浮动”，大于等于小者，且小于等于大者。而第二道题中甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低，但在整体上，甲的手术失败率却比乙的高。这是手术次数不同产生的特例。