【暖*墟】 #数据结构进阶# 点分治

点分治，是一种处理树上路径问题的工具，适用于树上的求和问题。

给定一棵树和一个整数

做法1：枚举不同的两个点，用dfs算出距离、并统计求值。O(n^3)。

做法2：找根，求出每个点到根的距离，枚举两点求 $lca。O(n^2logn)。$

做法3：考虑形成路径的情况，假设一条满足条件的路径经过点

点分治的算法流程：

对于当前的这一部分树，求出当前这一部分的重心；
维护当前重心为根时、对应的答案，统计求和；
去掉当前重心，将当前这部分树分成更多部分，重复如上操作。

点分治的一个简单性质：

因为每次都以重心分割树，所以当前层每条经过重心的路径都是以前没枚举到过的。
即：每个重心管辖范围内经过重心的路径条数之和，就是树上的所有路径。

原理（左右子树分治）

假设我们选出一个根

思考发现情况1（被一个子树包含）中，答案路径上的某点可以看成新的根，即

选根（选重心为根）

选根不同会影响遍历的效率，下图中选x为根优于选y为根。

重心为根时，所有的子树的大小都不超过整个树大小的一半。

可以发现，找树的重心（最大的子树最小的根节点）是最优的。

树形

void GET_ROOT(int x,int fa){ 
    f[x]=0,siz[x]=1; //f[i]表示此点为根的最大子树的大小
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nextt){
        int y=e[i].ver; if(used[y]||y==fa) continue;
        GET_ROOT(y,x); //向下遍历
        f[x]=max(f[x],siz[y]); siz[x]+=siz[y];
    } f[x]=max(f[x],Siz-siz[x]);
    //Siz表示【现在这棵子树中】点的总数，一开始求重心时Siz=n
    if(f[x]<f[rt]) rt=x; //更新root
}

之后的分治过程还需要对子树单独找重心，所以代码中有

求距离（枚举+子树容斥）

枚举子树里的两个点，如果两个点到重心的距离和为这是第二种情况。

第一种情况就让距离根为

统计答案（二分+子树容斥）

考虑枚举一个点，另一个点可以通过二分来求解。

int calc(int u,int d0){ 
//↑↑↑此时以u为根节点，统计子树中符合条件的点对个数
    cnt=0; dep[u]=d0; getdeep(u,0);
    sort(o+1,o+cnt+1); //排序，便于二分
    int l=1,r=cnt,res=0;
    while(l<r){ 
        if(o[l]+o[r]<=k) res+=r-l,l++;
        else r--; //二分求符合条件的点对个数
    } return res;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=50019;

struct edge{ int ver,nextt,w; }e[N<<1]; //边集

int n,m,k,head[N],cnt; //head[]和cnt是边集数组的辅助变量 

int root,sum; //当前查询的根，当前递归的这棵树的大小 

int vis[N]; //某一个点是否被当做根过 

int sz[N]; //每个点下面子树的大小 
int f[N]; //每个点为根时，最大子树大小 

int dep[N]; //每个点的深度(此时是与根节点的距离) 
int o[N]; //每个点的深度(用于排序，进而用于二分)

int ans; //最终统计的答案 

int reads(){ //读入优化
    int x=0,w=1; char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}

void getroot(int u,int fa){ //dfs求重心和子树大小
    sz[u]=1; f[u]=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){
        int v=e[i].ver;
        if(v==fa||vis[v]) continue;
        getroot(v,u); sz[u]+=sz[v];
        f[u]=max(f[u],sz[v]);
    } f[u]=max(f[u],sum-sz[u]); //注意：可能是另外一半的树
    if(f[u]<f[root]) root=u; //更新重心
}

void getdeep(int u,int fa){ //dfs求出与根节点的距离
    o[++cnt]=dep[u]; //用于排序
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){
        int v=e[i].ver; if(v==fa||vis[v]) continue;
        dep[v]=dep[u]+e[i].w; getdeep(v,u);
    }
}

int calc(int u,int d0){ 
//↑↑↑此时以u为根节点，统计子树中符合条件的点对个数
    cnt=0; dep[u]=d0; getdeep(u,0);
    sort(o+1,o+cnt+1); //排序，便于二分
    int l=1,r=cnt,res=0;
    while(l<r){ 
        if(o[l]+o[r]<=k) res+=r-l,l++;
        else r--; //二分求符合条件的点对个数
    } return res;
}

void solve(int u){
    ans+=calc(u,0); vis[u]=1;
    //↑↑会产生非法路径（被u的某个子树完全包含，路径不能合并）
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nextt){ //递归子树
        int v=e[i].ver; if(vis[v]) continue;
        ans-=calc(v,e[i].w); //容斥原理去除非法答案
        //↑↑在处理子树时，将初始长度设为连接边长e[i].w;
        //这样做就相当于给子树的每个组合都加上了u—>的路径。
        sum=sz[v]; root=0; //重设当前总树大小，寻找新的分治点
        getroot(v,0); solve(root); //递归新的分治点（重心）
    }
}

int main(){
    n=reads(); int u,v,w;
    for(int i=1;i<n;i++){
        u=reads(); v=reads(); w=reads(); //↓前向星
        e[++cnt]=(edge){v,head[u],w}; head[u]=cnt;
        e[++cnt]=(edge){u,head[v],w}; head[v]=cnt;
    } root=0; sum=f[0]=n; //一开始，root初始化为0，用于找重心        
    k=reads(); getroot(1,0); solve(root); //从重心开始点分治
    printf("%d
",ans); return 0;
}

【暖*墟】 #数据结构进阶# 点分治

原理（左右子树分治）

选根（选重心为根）

求距离（枚举+子树容斥）

统计答案（二分+子树容斥）

【poj 1741】Tree

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