• 关节点 与 重(双)连通图


    来源:https://blog.csdn.net/summer_dew/article/details/81557331

    参考:《数据结构》严蔚敏

    关节点

    什么是关节点

    【关节点】

    删除顶点V
      与          =>图不再是连通图了 => 顶点V就叫关节点
    V上的所有边

    【连通图】图中的任意两点,都有路可以连通
    例子:

    1. 将 顶点a 与 a的所有边删除 =>剩下的顶点所构成的图被分成两个部分(连通分量) => a是关节点
    2. 将 顶点c 与 c的所有边删除 =>剩下的顶点所构成的图被分成两个部分(连通分量) => c是关节点
    3. 将 顶点b 与 b的所有边删除 =>剩下的顶点所构成的图还是连通图 => b不是关节点

    【解释】怎么看v是不是关节点 => v死后,其他结点是不是相互找到 => 不能的话,那v就是关键的东西,它死了,你就找不到你上面的人了 => v是关节点

    这里写图片描述

    关节点的特征

    定性的了解关节点,方便之后讨论如何求它 => 利用DFS生成树

    看生成树中各个顶点的类型:

    1. 根结点
    2. 其他结点

    类型一:根结点a

    【△】如果 根结点a有两个或两个以上的分支 => a就是关节点

    【解释】生成树有两棵子树意味着什么?<= 两个子树之间是互不相同的
    【证明】生成树有两棵子树w1,w2 => 若 w1中有一个顶点v1 与 w2中一个结点v2 存在一条边,那么!在遍历w1的时候,就会遍历到v2 => v2所属的子树w2 不会成为 根结点的一个子树,而是被挂在w1下
    【结论】生成树中根结点的子树各不相通,除了通过根结点本身

    类型二:其他结点

    【△】若 v没有和它祖先相同的回边 => v是关节点

    【解释】实际上,就是v死后,其他人是不是能够相互找到(可以通过中间人找)
    【例子】左边是图,右边是一个DFS生成树。
    从右图中,可以看到,DFS树上除了自身的边,还有一些边(e-c,f-a,h-a)
    这些边是生成DFS树时,没有走过的边,这里叫做回边(e-c,f-a,h-a)
    => 可以看出,

    1. 如果d死了,e还可以通过c,找到别的人(所有人);
    2. 如果g死了,h可以通过a找到别的人(所有人)
    3. 如果c死了, f可以通过a找到其他人(不是所有人),但不能找到d和e,因为de与其他结点失联了 => c是关节点

    这里写图片描述

    如何求关节点

    定性 到 定量的求法

    类型一:生成树的根

    若从 DFS生成树 的 根结点 的 一个边 出发DFS

    • 能够访问到所有结点 => 只有一个子树 => 根 不是关节点
    • 若不能访问到所有结点 => 有好几个子树 => 根 是关节点
    1 p = G.vertices[0].firstarc; //取第一个结点,即取a
    2 v= p->adjvex; //取a的第一个邻结点
    3 DFSArticul(G,v); //从v开始进行DFS
    4 if (count < G.vexnum ) { //count:访问到的结点总数,在DFS时记录
    5     //根是关节点
    6 }

    类型二:其他结点

    判断v是不是关节点:

    1. visited[v]为v的访问次序
    2. 一个函数low()
      这里写图片描述
    3. 如果v有一个孩子w,满足low[w] ≥ visited[v],则v就是关节点

    实现:

    1. 怎么判断v是不是关节点?
      看到公式low() => 求v是不是,得看它的子节点 => 所以是退回到v的时候来判断v是不是 => DFS执行完之后来判断【代码中位置①】

    2. low()怎么在代码中实现呢?
      先定义一个min【代码中位置②】,low(v)中有三个量,谁出现了就和min进行比较,取最小

      • visited[v]最先出现:遍历到v的时候就出现了【代码中位置③】
      • low[w]:遍历到w的时候,可以计算,计算完,让它与min比较【代码中位置④】
      • visited[k]:k为回边,即第二次遍历到k结点的时候即是回边时【代码中位置⑤】
     1 //从 第v0顶点 出发DFS,查找并输出关节点
     2 void DFSArticul(ALGraph G, int v0) {
     3     //v0是第count个访问的顶点
     4     visited[v0] = min = ++count; // --②、③
     5     for (p=G.vertices[v0].firstarc; p; p=p->nextarc) { //对v0的每个邻接点进行检查
     6         w = p->adjvex; //w是v0的邻接点
     7         if (visited[w] == 0) { //之前都没有访问过
     8             DFSArticul(G, w);
     9             if (low[w] < min) min = low[w]; // --④
    10             if (low[w] >= visited[v0]) printf(v0是关节点); // --①
    11         } else if (visited[w] < min) { //w已经访问过了,说明w是回边
    12             min = visited[w]; // --⑤
    13         }
    14     } 
    15     low[v0] = min; //设置v0的low值
    16 }

    总代码 ( 来自《数据结构》严蔚敏 )

     1 count=1; //定义为全局变量
     2 void FindArticul(ALGraph G) {
     3     visited[0]=1; //设定邻接表上0号顶点为 生成树的根
     4     for (i=1; i<G.verxum; ++i) visited[i] = 0; //初始化,其余点没有访问
     5     p = G.vertices[0].firstarc; v = p->adjvex; //取 根的第一个邻接点
     6     DFSArticul(G,v); //开始DFS
     7     if (count<G.vexnum) {
     8         printf("根是关节点"); //根是关节点,输出相应信息
     9         while (p->nextarc) {
    10             p = p->nextarc; v = p->adjvex;
    11             if (visited[v]==0) DFSArticul(g,v);
    12         }
    13     }
    14 }
    15 //从 第v0顶点 出发DFS,查找并输出关节点
    16 void DFSArticul(ALGraph G, int v0) {
    17     //v0是第count个访问的顶点
    18     visited[v0] = min = ++count; // --②、③
    19     for (p=G.vertices[v0].firstarc; p; p=p->nextarc) { //对v0的每个邻接点进行检查
    20         w = p->adjvex; //w是v0的邻接点
    21         if (visited[w] == 0) { //之前都没有访问过
    22             DFSArticul(G, w);
    23             if (low[w] < min) min = low[w]; // --④
    24             if (low[w] >= visited[v0]) printf(v0是关节点); // --①
    25         } else if (visited[w] < min) { //w已经访问过了,说明w是回边
    26             min = visited[w]; // --⑤
    27         }
    28     } 
    29     low[v0] = min; //设置v0的low值
    30 }

    重(双)连通图

    【重(双)连通图】没有关节点的连通图为双连通图

    【解释】前提:图为连通图 => 如果从图中删除任何一个顶点 => 其他顶点之间都能相互通讯,即它还是一个连通图 => 这个连通图 就叫 重(双)连通图

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