题解 P1505 【[国家集训队]旅游】

[ ext{关于题意} ]

(quad)一道很简单毒瘤的树链剖分练习题，只有五种操作，除了码量较大，就没有什么其他特点了，是一道很好的练习题。可以锻炼(OIer)找错能力，我调了一个小时， (WA)了一次

[ ext{关于边权转点权} ]

(quad)有几道题也是树链剖分边权转点权，可以先去做一下：P4114 Qtree1，P3950 部落冲突(我的题解)，CF165D Beard Graph(我的题解)。

(quad)考虑到树上有 (n) 个点，有 (n-1) 条边，并且每个点有且只有一个父亲节点(除了根节点)，但是每个点可能有多个儿子(也可能没有)，所以我们可以将边权转化为儿子节点的点权(深度更大的点)，这样除了根节点，(n-1) 条边就合理的分配到 (n-1) 个点上。(如果还不能就看看图吧)

原图

经过转化后的图(将边权转化为点权)

(quad)注意：对于路径(4-2-5)，只需访问点 (4) 和点 (5)，对于 (4) 和 (5) 的 (LCA) (最近公共祖先)不可取，因为 (2) 在原图中对应的是边 (1-2)，并不在路径(4-2-5)上，所以在树链剖分中当 (x) 和 (y) 在同一条链上时((dep[x]<dep[y]))，只需询问 (x+1) 到 (y) 的路径。

il void dfs1(int x,int fa,int ss) //ss表示x与fa(x的父亲)的连边的权值
{
  father[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;size[x]=1;a[x]=ss;
  for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
    {
      if(y==fa)continue;
      dfs1(y,x,s[i]);
      size[x]+=size[y];
      if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;
    }
}

il int query1(int x,int y,int z)
{
  int fx=top[x],fy=top[y],res;
  if(z==1)res=0;
  else if(z==2)res=-10000;
  else if(z==3)res=10000;
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      if(z==1)res+=query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z);
      else if(z==2)res=max(res,query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z));
      else if(z==3)res=min(res,query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z));
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  if(seg[x]==seg[y])return res;
  if(z==1)res+=query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z);//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  if(z==2)res=max(res,query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z));//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  if(z==3)res=min(res,query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z));//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  return res;
}

[ ext{对于五种操作} ]

1. 操作1：单点修改，输入 (C) (i) (w) 将输入的第 (i) 条边权值改为 (w) ，找出第 (i) 条边的两个端点，修改儿子节点

il void change3(int x,int y)
{
  int xx=go[x<<1],yy=go[(x<<1)-1];
  if(xx==father[yy])change1(1,1,n,seg[yy],y);
  else change1(1,1,n,seg[xx],y);
}

2. 操作2：区间修改，输入 (N) (u) (v) 将 (u,v) 节点之间的边权都变为相反数，用布尔数组 (c[k]) (懒标记)记录k区间内是否要被修改，每次修改 (c[k])(^)$ =1$;

3. 操作3：区间询问，输入 (SUM) (u) (v) 询问 (u,v) 节点之间边权和

4. 操作4：区间询问，输入 (MAX) (u) (v) 询问 (u,v) 节点之间边权最大值

5. 操作5：区间询问，输入 (MIN) (u) (v) 询问 (u,v) 节点之间边权最小值

(quad)其他就是一些细节方面的问题了，比如取反时 (sum[k]=-sum[k])，(Min[k]=-Max[k])，(Max[k]=-Min[k])

il void change(int k,int l,int r)
{
    int m1=Min[k],m2=Max[k];
    sum[k]=-sum[k];Min[k]=-m2;Max[k]=-m1;c[k]^=1;
}

接下来就是完整(AC)代码了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define next neee
#define re register int
#define il inline
#define inf 1e18
il int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
il void print(int x)
{if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x/10)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
const int N=2e5+5;
int n,m,next[N<<1],go[N<<1],head[N],tot,s[N<<1],a[N],Min[N<<2],top[N];
int sum[N<<2],Max[N<<2],seg[N],rev[N],son[N],size[N],dep[N],father[N];
bool c[N<<2];
il void Add(int x,int y,int z)//链式前向星存图
{next[++tot]=head[x];head[x]=tot;go[tot]=y;s[tot]=z;}
//------------预处理---------------------------
il void dfs1(int x,int fa,int ss)//第一次dfs处理数组father，son，dep，size，a
{
  father[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;size[x]=1;a[x]=ss;//ss表示x与fa(x的父亲)的连边的权值
  for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
    {
      if(y==fa)continue;
      dfs1(y,x,s[i]);
      size[x]+=size[y];
      if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;
    }
}
il void dfs2(int x,int topf)//第二次dfs处理数组top，seg，rev
{
  top[x]=topf;seg[x]=++seg[0];rev[seg[x]]=x;
  if(!son[x])return;
  dfs2(son[x],topf);
  for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
    {
      if(top[y])continue;
      dfs2(y,y);
    }
}
il void build(int k,int l,int r)//建树
{
  if(l==r){Min[k]=Max[k]=sum[k]=a[rev[l]];return;}
  int mid=l+r>>1;
  build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
  Min[k]=min(Min[k<<1],Min[k<<1|1]);
  Max[k]=max(Max[k<<1],Max[k<<1|1]);
  sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}
//------------预处理---------------------------
//------------线段树---------------------------
il void change(int k,int l,int r)//取反操作
{int m1=Min[k],m2=Max[k];sum[k]=-sum[k];Min[k]=-m2;Max[k]=-m1;c[k]^=1;}
il void pushdown(int k,int l,int r,int mid)//下传标记
{if(l==r){c[k]=0;return;}change(k<<1,l,mid);change(k<<1|1,mid+1,r);c[k]=0;}
il void change1(int k,int l,int r,int x,int y)//单点修改
{
  if(l==r){Min[k]=Max[k]=sum[k]=y;return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(c[k])pushdown(k,l,r,mid);
  if(x<=mid)change1(k<<1,l,mid,x,y);
  else change1(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
  Min[k]=min(Min[k<<1],Min[k<<1|1]);
  Max[k]=max(Max[k<<1],Max[k<<1|1]);
  sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}
il void change2(int k,int l,int r,int x,int y)//区间取反
{
  if(x<=l&&y>=r){change(k,l,r);return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(c[k])pushdown(k,l,r,mid);
  if(x<=mid)change2(k<<1,l,mid,x,y);
  if(y>mid)change2(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
  Min[k]=min(Min[k<<1],Min[k<<1|1]);
  Max[k]=max(Max[k<<1],Max[k<<1|1]);
  sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}
il int query(int k,int l,int r,int x,int y,int z)//区间询问
{
  if(x<=l&&y>=r){
    if(z==1)return sum[k];//z==1-->>求SUM
    if(z==2)return Max[k];//z==2-->>求MAX
    return Min[k];}		//z==3-->>求MIN
  int mid=l+r>>1,res;
  if(c[k])pushdown(k,l,r,mid);
  if(z==1){res=0;if(x<=mid)res+=query(k<<1,l,mid,x,y,z);if(y>mid)res+=query(k<<1|1,mid+1,r,x,y,z);return res;}
  if(z==2){res=-10000;if(x<=mid)res=max(res,query(k<<1,l,mid,x,y,z));if(y>mid)res=max(res,query(k<<1|1,mid+1,r,x,y,z));return res;}
  res=10000;if(x<=mid)res=min(res,query(k<<1,l,mid,x,y,z));if(y>mid)res=min(res,query(k<<1|1,mid+1,r,x,y,z));return res;
}
//------------线段树--------------------------
//------------树链剖分------------------------
il void change3(int x,int y)
{
  int xx=go[x<<1],yy=go[(x<<1)-1];
  if(xx==father[yy])change1(1,1,n,seg[yy],y);
  else change1(1,1,n,seg[xx],y);
}
il void change4(int x,int y)
{
  int fx=top[x],fy=top[y];
  while(fx!=fy){
    if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
    change2(1,1,n,seg[fx],seg[x]);	//链顶在前
    x=father[fx];fx=top[x];
  }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  if(seg[x]+1<=seg[y])change2(1,1,n,seg[x]+1,seg[y]);//记得seg[x]+1
}
il int query1(int x,int y,int z)
{
  int fx=top[x],fy=top[y],res;
  if(z==1)res=0;
  else if(z==2)res=-10000;
  else if(z==3)res=10000;
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      if(z==1)res+=query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z);
      else if(z==2)res=max(res,query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z));
      else if(z==3)res=min(res,query(1,1,n,seg[fx],seg[x],z));
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  if(seg[x]==seg[y])return res;
  if(z==1)res+=query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z);//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  if(z==2)res=max(res,query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z));//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  if(z==3)res=min(res,query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y],z));//最后一次询问是seg[x]+1到seg[y]
  return res;
}
//------------树链剖分------------------------
signed main()
{
  n=read();
  for(re i=1;i<n;i++)
  {re x=read()+1,y=read()+1,z=read();Add(x,y,z);Add(y,x,z);}
  m=read();
  dfs1(1,0,0);dfs2(1,1);build(1,1,n);//树链剖分预处理
  string s1;
  while(m--)
    {
      cin>>s1;re x=read()+1,y=read()+1,z=0;
      if(s1=="C"){change3(x-1,y-1);continue;}
      if(s1=="N"){change4(x,y);continue;}
      if(s1=="SUM")z=1;else if(s1=="MAX")z=2;else if(s1=="MIN")z=3;
      print(query1(x,y,z));putchar('
');
    }
  return 0;
}

(quad)写题解不易，如果觉得对您有帮助，不妨点个赞吧！