作业1 PRIM与Kurskal算法 MST

1.     问题

给定一个无向有权图G，分别使用PRIM算法和Kruakal算法来生成T的最小生成树

2.     解析

最小生成树是指顶点集与图相同，但是所有的边权值和最小的树。设G的顶点集为V，边集为E，G的最小生成树的顶点集为V_new，边集为E_new。

PRIM算法的主要思想是以图中的点为基础，先随机选择一点加入V_new，然后寻找所有的边<m,n>中，m在V_new中，n不在V_new中，且权值最小的边，将n加入V_new中,<m,n>加入E_new，直到|V_new| = |V|

Kurskal算法的主要思想是以图中的边为基础，不断的从E中选择最小的边<m,n>，并判断m,n是否属于同一连通分量。如果m,n都不属于连通分量，则将<m,n>加入E_new。

3.     设计

PRIM：

While (|V_new| != |V|)

{

       Endpoint = 0//每一轮选择的终止点的编号

       Startpoint = 0//每一轮选择的起始点的编号

       Min = infinity//记录最小值

       For i in Vnew

              If 存在边<i,k>的value < min

              {

                     Endpoint = k;

                     Startpoint = i;

                     Min = <i,k>.value

              }

       V_new += Endpoint;

       E_new += <Startpoint,Endpoint>

}

Kurskal：

While(|E| != empty)

{

       找到E中权值最小的边<m,n>

       E -= <m,n>

       If(<m,n>不在同一连通分量)

       {

              Enew += <m,n>

       }

}

4.     分析

针对朴素的PRIM算法，时间复杂读为O(|V|²)，首先针对关键代码，最外面的大循环要执行|V|次，针对循环内，复杂度为O(|V|)，因此时间复杂度为O(|V|²).

Kurskal算法，因为一开始要对所有的边的权重进行排序，因此时间复杂度主要是由排序算法产生的，用快速排序进行，那么时间复杂度主要是O(Elog|E|)

5.     源码

https://github.com/fanchile/Algorithm

6.     扩展

（1）对于Kurskal与PRIM算法的证明

（2）Kurskal算法中，如何判断选取的边的两个点在不同的连通分量上

主要是并查集的使用，并查集用来管理不相交的集合，并支持两种操作

• merge 将两个不相交的集合合并
• find 查找两个元素是否在同一个集合

还可以对并查集进行路径压缩